Pagkalkula ng mga inaasahan sa matematika. Pag-asa ng isang random na variable
Ang teorya ng probabilidad ay isang espesyal na sangay ng matematika na pinag-aaralan lamang ng mga mag-aaral ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Gusto mo ba ng mga kalkulasyon at mga formula? Hindi ka ba natatakot sa mga prospect na makilala ang normal na distribution, ensemble entropy, mathematical expectation at dispersion ng isang discrete random variable? Kung gayon ang paksang ito ay magiging lubhang kawili-wili sa iyo. Kilalanin natin ang ilan sa pinakamahalagang pangunahing konsepto ng sangay ng agham na ito.
Tandaan natin ang mga pangunahing kaalaman
Kahit na naaalala mo ang pinakasimpleng konsepto ng teorya ng posibilidad, huwag pabayaan ang mga unang talata ng artikulo. Ang punto ay na kung walang malinaw na pag-unawa sa mga pangunahing kaalaman, hindi mo magagawang gamitin ang mga formula na tinalakay sa ibaba.
Kaya, ang ilang random na kaganapan ay nangyayari, ang ilang mga eksperimento. Bilang resulta ng mga aksyon na aming gagawin, maaari kaming makakuha ng ilang mga resulta - ang ilan sa mga ito ay nangyayari nang mas madalas, ang iba ay mas madalas. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng aktwal na nakuha na mga resulta ng isang uri sa kabuuang bilang ng mga posibleng resulta. Ang pag-alam lamang sa klasikal na kahulugan ng konseptong ito ay maaari mong simulan na pag-aralan ang matematikal na inaasahan at pagpapakalat ng tuluy-tuloy na mga random na variable.
Katamtaman
Bumalik sa paaralan, sa panahon ng mga aralin sa matematika, nagsimula kang magtrabaho sa arithmetic mean. Ang konseptong ito ay malawakang ginagamit sa teorya ng posibilidad, at samakatuwid ay hindi maaaring balewalain. Ang pangunahing bagay para sa amin sa ngayon ay makakatagpo namin ito sa mga formula para sa pag-asa sa matematika at pagpapakalat ng isang random na variable.
Mayroon kaming isang pagkakasunud-sunod ng mga numero at nais na mahanap ang arithmetic mean. Ang kailangan lang sa atin ay buuin ang lahat ng magagamit at hatiin sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod. Magkaroon tayo ng mga numero mula 1 hanggang 9. Ang kabuuan ng mga elemento ay magiging katumbas ng 45, at hahatiin natin ang halagang ito sa 9. Sagot: - 5.
Pagpapakalat
Sa mga pang-agham na termino, ang pagpapakalat ay ang average na parisukat ng mga paglihis ng nakuha na mga halaga ng isang katangian mula sa arithmetic mean. Ito ay tinutukoy ng isang malaking Latin na letrang D. Ano ang kailangan upang makalkula ito? Para sa bawat elemento ng sequence, kinakalkula namin ang pagkakaiba sa pagitan ng umiiral na numero at ng arithmetic mean at parisukat ito. Magkakaroon ng eksaktong bilang ng maraming mga halaga na maaaring magkaroon ng mga resulta para sa kaganapan na aming isinasaalang-alang. Susunod, ibubuod namin ang lahat ng natanggap at hatiin sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod. Kung mayroon tayong limang posibleng resulta, hatiin sa lima.
Ang dispersion ay mayroon ding mga katangian na kailangang tandaan upang magamit sa paglutas ng mga problema. Halimbawa, kapag dinadagdagan ang isang random na variable ng X beses, ang variance ay tumataas ng X squared times (ibig sabihin, X*X). Ito ay hindi kailanman mas mababa sa zero at hindi nakasalalay sa paglilipat ng mga halaga pataas o pababa sa pantay na halaga. Bukod pa rito, para sa mga independiyenteng pagsubok, ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba.
Ngayon ay tiyak na kailangan nating isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagkakaiba ng isang discrete random variable at ang mathematical na inaasahan.
Sabihin nating nagpatakbo kami ng 21 eksperimento at nakakuha ng 7 magkakaibang resulta. Inobserbahan namin ang bawat isa sa kanila ng 1, 2, 2, 3, 4, 4 at 5 beses, ayon sa pagkakabanggit. Ano ang magiging katumbas ng pagkakaiba?
Una, kalkulahin natin ang arithmetic mean: ang kabuuan ng mga elemento, siyempre, ay 21. Hatiin ito sa 7, pagkuha ng 3. Ngayon ibawas ang 3 mula sa bawat numero sa orihinal na pagkakasunod-sunod, parisukat ang bawat halaga, at idagdag ang mga resulta nang sama-sama. Ang resulta ay 12. Ngayon ang kailangan lang nating gawin ay hatiin ang numero sa bilang ng mga elemento, at, tila, iyon lang. Ngunit mayroong isang catch! Pag-usapan natin ito.
Pagdepende sa bilang ng mga eksperimento
Lumalabas na kapag kinakalkula ang pagkakaiba, ang denominator ay maaaring maglaman ng isa sa dalawang numero: alinman sa N o N-1. Narito ang N ay ang bilang ng mga eksperimento na isinagawa o ang bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod (na kung saan ay mahalagang parehong bagay). Ano ang nakasalalay dito?
Kung ang bilang ng mga pagsubok ay sinusukat sa daan-daan, dapat nating ilagay ang N sa denominator. Kung sa mga yunit, pagkatapos ay N-1. Nagpasya ang mga siyentipiko na iguhit ang hangganan na medyo simboliko: ngayon ay dumaan ito sa numero 30. Kung nagsagawa kami ng mas mababa sa 30 mga eksperimento, pagkatapos ay hahatiin namin ang halaga sa N-1, at kung higit pa, pagkatapos ay sa N.
Gawain
Bumalik tayo sa ating halimbawa ng paglutas sa problema ng variance at mathematical expectation. Nakakuha kami ng intermediate number 12, na kailangang hatiin ng N o N-1. Dahil nagsagawa kami ng 21 eksperimento, na mas mababa sa 30, pipiliin namin ang pangalawang opsyon. Kaya ang sagot ay: ang pagkakaiba ay 12/2 = 2.
Inaasahang halaga
Lumipat tayo sa pangalawang konsepto, na dapat nating isaalang-alang sa artikulong ito. Ang inaasahan sa matematika ay ang resulta ng pagdaragdag ng lahat ng posibleng resulta na pinarami ng mga katumbas na probabilidad. Mahalagang maunawaan na ang nakuha na halaga, pati na rin ang resulta ng pagkalkula ng pagkakaiba, ay nakuha lamang ng isang beses para sa buong problema, gaano man karaming mga resulta ang isinasaalang-alang dito.
Ang pormula para sa pag-asa sa matematika ay medyo simple: kinukuha namin ang kinalabasan, i-multiply ito sa posibilidad nito, idagdag ang pareho para sa pangalawa, pangatlong resulta, atbp. Lahat ng nauugnay sa konseptong ito ay hindi mahirap kalkulahin. Halimbawa, ang kabuuan ng inaasahang halaga ay katumbas ng inaasahang halaga ng kabuuan. Ang parehong ay totoo para sa trabaho. Hindi lahat ng dami sa teorya ng posibilidad ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng mga simpleng operasyon. Kunin natin ang problema at kalkulahin ang kahulugan ng dalawang konsepto na pinag-aralan natin nang sabay-sabay. At saka, ginulo kami ng teorya - oras na para magsanay.
Isa pang halimbawa
Nagpatakbo kami ng 50 pagsubok at nakakuha ng 10 uri ng mga resulta - mga numero mula 0 hanggang 9 - na lumalabas sa iba't ibang porsyento. Ito ay, ayon sa pagkakabanggit: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Alalahanin na upang makakuha ng mga probabilidad, kailangan mong hatiin ang mga halaga ng porsyento sa pamamagitan ng 100. Kaya, makakakuha tayo ng 0.02; 0.1, atbp. Magpakita tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng problema para sa pagkakaiba ng isang random na variable at ang inaasahan sa matematika.
Kinakalkula namin ang arithmetic mean gamit ang formula na naaalala namin mula sa elementarya: 50/10 = 5.
Ngayon, i-convert natin ang mga probabilidad sa bilang ng mga resulta "sa piraso" para mas madaling mabilang. Nakukuha namin ang 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 at 9. Mula sa bawat halaga na nakuha, ibinabawas namin ang arithmetic mean, pagkatapos ay i-square namin ang bawat resulta na nakuha. Tingnan kung paano ito gawin gamit ang unang elemento bilang isang halimbawa: 1 - 5 = (-4). Susunod: (-4) * (-4) = 16. Para sa iba pang value, gawin ang mga operasyong ito nang mag-isa. Kung ginawa mo nang tama ang lahat, pagkatapos ay idagdag ang lahat ng ito makakakuha ka ng 90.
Ipagpatuloy natin ang pagkalkula ng pagkakaiba at inaasahang halaga sa pamamagitan ng paghahati ng 90 sa N. Bakit natin pipiliin ang N kaysa sa N-1? Tama, dahil ang bilang ng mga eksperimento na ginawa ay lumampas sa 30. Kaya: 90/10 = 9. Nakuha namin ang pagkakaiba. Kung nakakuha ka ng ibang numero, huwag mawalan ng pag-asa. Malamang, nakagawa ka ng isang simpleng pagkakamali sa mga kalkulasyon. I-double check kung ano ang iyong isinulat, at ang lahat ay malamang na mahuhulog sa lugar.
Panghuli, tandaan ang formula para sa mathematical na inaasahan. Hindi namin ibibigay ang lahat ng mga kalkulasyon, magsusulat lamang kami ng isang sagot na maaari mong suriin pagkatapos makumpleto ang lahat ng kinakailangang mga pamamaraan. Ang inaasahang halaga ay magiging 5.48. Alalahanin lamang natin kung paano magsagawa ng mga operasyon, gamit ang mga unang elemento bilang isang halimbawa: 0*0.02 + 1*0.1... at iba pa. Gaya ng nakikita mo, pinaparami lang namin ang halaga ng kinalabasan sa posibilidad nito.
paglihis
Ang isa pang konsepto na malapit na nauugnay sa dispersion at mathematical expectation ay standard deviation. Ito ay tinutukoy ng alinman sa mga Latin na titik sd, o ng maliit na titik na Griyego na "sigma". Ang konseptong ito ay nagpapakita kung gaano sa average ang mga halaga ay lumihis mula sa gitnang tampok. Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mong kalkulahin ang square root ng variance.
Kung mag-plot ka ng normal na distribution graph at gusto mong makita ang squared deviation nang direkta dito, maaari itong gawin sa ilang yugto. Dalhin ang kalahati ng imahe sa kaliwa o kanan ng mode (central value), gumuhit ng patayo sa pahalang na axis upang ang mga lugar ng mga resultang figure ay pantay. Ang laki ng segment sa pagitan ng gitna ng distribution at ang resultang projection papunta sa horizontal axis ay kumakatawan sa standard deviation.
Software
Tulad ng makikita mula sa mga paglalarawan ng mga formula at ang mga halimbawang ipinakita, ang pagkalkula ng pagkakaiba-iba at pag-asa sa matematika ay hindi ang pinakasimpleng pamamaraan mula sa isang punto ng aritmetika. Upang hindi mag-aksaya ng oras, makatuwirang gamitin ang programa na ginagamit sa mga institusyong mas mataas na edukasyon - ito ay tinatawag na "R". Mayroon itong mga function na nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula ang mga halaga para sa maraming mga konsepto mula sa mga istatistika at teorya ng posibilidad.
Halimbawa, tinukoy mo ang isang vector ng mga halaga. Ginagawa ito tulad ng sumusunod: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Sa wakas
Ang pagpapakalat at pag-asa sa matematika ay wala kung saan mahirap kalkulahin ang anumang bagay sa hinaharap. Sa pangunahing kurso ng mga lektura sa mga unibersidad, tinalakay na ang mga ito sa mga unang buwan ng pag-aaral ng paksa. Ito ay tiyak na dahil sa kakulangan ng pag-unawa sa mga simpleng konsepto na ito at ang kawalan ng kakayahang kalkulahin ang mga ito kung kaya't maraming mga mag-aaral ang agad na nagsisimulang mahuli sa programa at kalaunan ay tumanggap ng mga masamang marka sa pagtatapos ng sesyon, na nag-aalis sa kanila ng mga scholarship.
Magsanay nang hindi bababa sa isang linggo, kalahating oras sa isang araw, paglutas ng mga gawain na katulad ng ipinakita sa artikulong ito. Pagkatapos, sa anumang pagsubok sa teorya ng posibilidad, magagawa mong makayanan ang mga halimbawa nang walang mga ekstrang tip at cheat sheet.
– ang bilang ng mga lalaki sa 10 bagong silang.
Ganap na malinaw na ang bilang na ito ay hindi alam nang maaga, at ang susunod na sampung anak na ipinanganak ay maaaring kabilang ang:
O mga lalaki - isa at isa lamang mula sa mga nakalistang opsyon.
At, upang mapanatili ang hugis, isang maliit na pisikal na edukasyon:
– long jump distance (sa ilang unit).
Kahit na ang isang master ng sports ay hindi mahuhulaan ito :)
Gayunpaman, ang iyong mga hypotheses?
2) Continuous random variable – tumatanggap Lahat mga numerical na halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang pagitan.
Tandaan : ang mga pagdadaglat na DSV at NSV ay popular sa literatura na pang-edukasyon
Una, pag-aralan natin ang discrete random variable, pagkatapos - tuloy-tuloy.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
- Ito pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng dami na ito at ang kanilang mga probabilidad. Kadalasan, ang batas ay nakasulat sa isang talahanayan: 
Ang termino ay madalas na lumilitaw hilera
pamamahagi, ngunit sa ilang mga sitwasyon ito ay tila hindi maliwanag, at kaya ako ay mananatili sa "batas".
At ngayon napakahalagang punto: dahil ang random variable Kailangan tatanggapin isa sa mga halaga, pagkatapos ay mabubuo ang kaukulang mga kaganapan buong grupo at ang kabuuan ng mga probabilidad ng kanilang paglitaw ay katumbas ng isa:
o, kung nakasulat na condensed:
Kaya, halimbawa, ang batas ng probability distribution ng mga puntos na pinagsama sa isang die ay may sumusunod na anyo: 
Walang komento.
Maaaring nasa ilalim ka ng impresyon na ang isang discrete random variable ay maaari lamang kumuha ng "magandang" integer value. Iwaksi natin ang ilusyon - maaari silang maging anuman:
Halimbawa 1
Ang ilang laro ay may sumusunod na batas sa pamamahagi ng panalong: 
...matagal mo na sigurong pinangarap ang mga ganyang gawain :) may sasabihin ako sa iyo na sikreto - ako rin. Lalo na pagkatapos ng trabaho teorya sa larangan.
Solusyon: dahil ang isang random na variable ay maaaring tumagal lamang ng isa sa tatlong mga halaga, ang mga kaukulang kaganapan ay nabuo buong grupo, na nangangahulugang ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa: 
Inilalantad ang "partisan": 
– sa gayon, ang posibilidad na manalo ng mga conventional unit ay 0.4.
Kontrol: iyon ang kailangan naming tiyakin.
Sagot:
Karaniwan kapag kailangan mong gumawa ng isang batas sa pamamahagi sa iyong sarili. Para dito ginagamit nila klasikal na kahulugan ng posibilidad, multiplication/addition theorems para sa mga probabilities ng kaganapan at iba pang chips tervera:
Halimbawa 2
Ang kahon ay naglalaman ng 50 mga tiket sa lottery, kung saan 12 ang nanalo, at 2 sa kanila ang nanalo ng 1000 rubles bawat isa, at ang natitira - 100 rubles bawat isa. Gumuhit ng isang batas para sa pamamahagi ng isang random na variable - ang laki ng mga panalo, kung ang isang tiket ay kinuha nang random mula sa kahon.
Solusyon: tulad ng napansin mo, ang mga halaga ng isang random na variable ay karaniwang inilalagay sa sa pataas na ayos. Samakatuwid, nagsisimula kami sa pinakamaliit na panalo, katulad ng mga rubles.
Mayroong 50 tulad ng mga tiket sa kabuuan - 12 = 38, at ayon sa klasikal na kahulugan:
– ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na tiket ay magiging isang talunan.
Sa ibang mga kaso ang lahat ay simple. Ang posibilidad na manalo ng rubles ay:
Suriin: - at ito ay isang partikular na kaaya-ayang sandali ng gayong mga gawain!
Sagot: ang gustong batas ng pamamahagi ng mga panalo: 
Ang sumusunod na gawain ay para sa iyo na lutasin nang mag-isa:
Halimbawa 3
Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay . Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable - ang bilang ng mga hit pagkatapos ng 2 shot.
...I knew that you missed him :) Tandaan natin multiplication at addition theorems. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.
Ang batas sa pamamahagi ay ganap na naglalarawan ng isang random na variable, ngunit sa pagsasanay maaari itong maging kapaki-pakinabang (at kung minsan ay mas kapaki-pakinabang) upang malaman lamang ang ilan sa mga ito. mga katangiang numero .
Pag-asa ng isang discrete random variable
Sa madaling salita, ito ay average na inaasahang halaga kapag ang pagsubok ay paulit-ulit na maraming beses. Hayaan ang random na variable na kumuha ng mga halaga na may mga probabilidad 
ayon sa pagkakabanggit. Kung gayon ang mathematical na inaasahan ng random variable na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto lahat ng mga halaga nito sa kaukulang mga probabilidad:
o gumuho: 
Kalkulahin natin, halimbawa, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable - ang bilang ng mga puntos na pinagsama sa isang die:
Ngayon tandaan natin ang ating hypothetical na laro: 
Ang tanong ay lumitaw: kumikita ba ang paglalaro ng larong ito? ...sino ang may anumang mga impression? Kaya't hindi mo ito masasabing "nagkataon"! Ngunit ang tanong na ito ay madaling masagot sa pamamagitan ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika, mahalagang - weighted average sa pamamagitan ng posibilidad na manalo:
Kaya, ang matematikal na inaasahan ng larong ito natatalo.
Huwag magtiwala sa iyong mga impression - magtiwala sa mga numero!
Oo, dito maaari kang manalo ng 10 o kahit na 20-30 beses sa isang hilera, ngunit sa katagalan, hindi maiiwasang pagkasira ang naghihintay sa atin. At hindi ko ipapayo sa iyo na maglaro ng mga ganoong laro :) Well, marahil lamang para sa kasiyahan.
Mula sa lahat ng nasa itaas, sumusunod na ang mathematical na inaasahan ay hindi na isang RANDOM na halaga.
Malikhaing gawain para sa independiyenteng pananaliksik:
Halimbawa 4
Si Mr. X ay naglalaro ng European roulette gamit ang sumusunod na sistema: palagi siyang tumataya ng 100 rubles sa "pula". Gumuhit ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable - ang mga panalo nito. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan ng mga panalo at bilugan ito sa pinakamalapit na kopeck. Ilan karaniwan Matatalo ba ang manlalaro sa bawat daan na kanyang taya?
Sanggunian : Ang European roulette ay naglalaman ng 18 pula, 18 itim at 1 berdeng sektor (“zero”). Kung ang isang "pula" ay lilitaw, ang manlalaro ay binabayaran ng doble ng taya, kung hindi, ito ay mapupunta sa kita ng casino
Mayroong maraming iba pang mga sistema ng roulette kung saan maaari kang lumikha ng iyong sariling mga talahanayan ng posibilidad. Ngunit ito ang kaso kapag hindi namin kailangan ng anumang mga batas o talahanayan ng pamamahagi, dahil tiyak na natukoy na ang inaasahan sa matematika ng manlalaro ay eksaktong pareho. Ang tanging bagay na nagbabago mula sa sistema hanggang sa sistema ay
Tulad ng alam na, ang batas sa pamamahagi ay ganap na nagpapakilala sa isang random na variable. Gayunpaman, kadalasan ang batas sa pamamahagi ay hindi alam at kailangang limitahan ang sarili sa mas kaunting impormasyon. Minsan mas kumikita pa ang paggamit ng mga numero na naglalarawan ng random variable sa kabuuan; tinatawag ang mga ganyang numero numerical na katangian ng isang random variable.
Ang isa sa mga mahalagang katangian ng numero ay ang inaasahan sa matematika.
Ang inaasahan sa matematika ay humigit-kumulang katumbas ng average na halaga ng random variable.
Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kanilang mga probabilidad.
Kung ang isang random na variable ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang serye ng pamamahagi:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
tapos yung mathematical expectation M(X) tinutukoy ng formula:
Ang mathematical na inaasahan ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:
saan ang probability density ng random variable X.
Halimbawa 4.7. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos na lalabas kapag naghahagis ng dice.
Solusyon:
Random na halaga X kumukuha ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5, 6. Gumawa tayo ng batas ng pamamahagi nito:
| X | ||||||
| R |
Kung gayon ang inaasahan sa matematika ay:
Mga katangian ng inaasahan sa matematika:
1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-pareho mismo:
M (S) = S.
2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin mula sa pag-asa sa matematika na palatandaan:
M (CX) = CM (X).
3. Ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations:
M(XY) = M(X)M(Y).
Halimbawa 4.8. Mga independiyenteng random na variable X At Y ay ibinigay ng mga sumusunod na batas sa pamamahagi:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable XY.
Solusyon.
Hanapin natin ang mga inaasahan sa matematika ng bawat isa sa mga dami na ito:
Mga random na variable X At Y independyente, samakatuwid ang kinakailangang inaasahan sa matematika ay:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Bunga. Ang mathematical expectation ng produkto ng ilang mutually independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations.
4. Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ng mga termino:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Bunga. Ang mathematical expectation ng sum ng ilang random variables ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng terms.
Halimbawa 4.9. 3 shot ang pinaputok na may posibilidad na tamaan ang target na katumbas ng p 1 = 0,4; p2= 0.3 at p 3= 0.6. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuang bilang ng mga hit.
Solusyon.
Ang bilang ng mga hit sa unang shot ay isang random na variable X 1, na maaari lamang tumagal ng dalawang halaga: 1 (hit) na may posibilidad p 1= 0.4 at 0 (miss) na may posibilidad q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga hit sa unang shot ay katumbas ng posibilidad ng isang hit:
Katulad nito, nakita namin ang mga inaasahan sa matematika ng bilang ng mga hit para sa pangalawa at pangatlong shot:
M(X 2)= 0.3 at M(X 3)= 0,6.
Ang kabuuang bilang ng mga hit ay isa ring random na variable na binubuo ng kabuuan ng mga hit sa bawat isa sa tatlong shot:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Ang kinakailangang inaasahan sa matematika X Natagpuan namin ito gamit ang theorem sa matematikal na inaasahan ng kabuuan.
Sa teorya ng posibilidad at sa marami sa mga aplikasyon nito, ang iba't ibang mga numerical na katangian ng mga random na variable ay may malaking kahalagahan. Ang mga pangunahing ay matematikal na inaasahan at pagkakaiba.
1. Mathematical expectation ng isang random variable at ang mga katangian nito.
Isaalang-alang muna natin ang sumusunod na halimbawa. Hayaang makatanggap ang halaman ng isang batch na binubuo ng N bearings. kung saan:
m 1 x 1,
m 2- bilang ng mga bearings na may panlabas na diameter x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- bilang ng mga bearings na may panlabas na diameter x n,
Dito m 1 +m 2 +...+m n =N. Hanapin natin ang arithmetic mean x avg panlabas na diameter ng tindig. Obviously,
Ang panlabas na diameter ng isang tindig na kinuha nang random ay maaaring ituring bilang isang random na variable na kumukuha ng mga halaga x 1, x 2, ..., x n, na may kaukulang mga probabilidad p 1 =m 1 /N, p 2 =m 2 /N, ..., p n =m n /N, dahil ang posibilidad p i hitsura ng isang tindig na may panlabas na diameter x i katumbas ng m i /N. Kaya, ang ibig sabihin ng arithmetic x avg Ang panlabas na diameter ng tindig ay maaaring matukoy gamit ang kaugnayan 
Hayaang maging discrete random variable na may ibinigay na probability distribution law
Mga halaga
x 1
x 2
. . .
x n
Mga probabilidad
p 1
p2
. . .
p n
Pag-asa sa matematika discrete random variable ay ang kabuuan ng mga ipinares na produkto ng lahat ng posibleng halaga ng isang random na variable sa pamamagitan ng kanilang kaukulang probabilities, i.e. *
Sa kasong ito, ipinapalagay na ang hindi wastong integral sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (40) ay umiiral.
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng pag-asa sa matematika. Sa kasong ito, lilimitahan namin ang aming sarili sa patunay lamang ng unang dalawang katangian, na aming isasagawa para sa mga discrete random variable.
1°. Ang mathematical expectation ng constant C ay katumbas ng constant na ito.
Patunay. pare-pareho C ay maaaring isipin bilang isang random na variable na maaari lamang kumuha ng isang halaga C na may posibilidad na katumbas ng isa. kaya lang 
2°. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring makuha sa kabila ng tanda ng inaasahan sa matematika, ibig sabihin. 
Patunay. Gamit ang kaugnayan (39), mayroon tayo 
3°. Ang mathematical expectation ng kabuuan ng ilang random variable ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng mga variable na ito:
Ang mathematical na inaasahan (average na halaga) ng isang random na variable X na ibinigay sa isang discrete probability space ay ang bilang na m =M[X]=∑x i p i kung ang serye ay ganap na nagtatagpo.
Layunin ng serbisyo. Gamit ang online na serbisyo kinakalkula ang mathematical expectation, variance at standard deviation(tingnan ang halimbawa). Bilang karagdagan, ang isang graph ng distribution function na F(X) ay naka-plot.
Mga katangian ng inaasahan sa matematika ng isang random na variable
- Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng sarili nito: M[C]=C, C – pare-pareho;
- M=C M[X]
- Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: M=M[X]+M[Y]
- Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: M=M[X] M[Y] , kung ang X at Y ay independiyente.
Mga katangian ng pagpapakalat
- Ang pagkakaiba ng isang pare-parehong halaga ay zero: D(c)=0.
- Ang constant factor ay maaaring alisin mula sa ilalim ng dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito: D(k*X)= k 2 D(X).
- Kung ang mga random na variable na X at Y ay independyente, kung gayon ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Kung ang mga random na variable X at Y ay nakasalalay: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Ang sumusunod na computational formula ay wasto para sa dispersion:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Halimbawa. Ang mga inaasahan at pagkakaiba sa matematika ng dalawang independiyenteng random na variable na X at Y ay kilala: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Hanapin ang mathematical expectation at variance ng random variable Z=9X-8Y+7.
Solusyon. Batay sa mga katangian ng inaasahan sa matematika: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Batay sa mga katangian ng dispersion: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algorithm para sa pagkalkula ng inaasahan sa matematika
Mga katangian ng mga discrete random variable: ang lahat ng kanilang mga halaga ay maaaring muling bilangin ng mga natural na numero; Italaga ang bawat halaga ng isang hindi zero na posibilidad.- I-multiply namin ang mga pares nang paisa-isa: x i sa p i .
- Idagdag ang produkto ng bawat pares x i p i .
Halimbawa, para sa n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Halimbawa Blg. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Nahanap namin ang inaasahan sa matematika gamit ang formula m = ∑x i p i .
Inaasahan M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Nahanap natin ang pagkakaiba gamit ang formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Variance D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Standard deviation σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Halimbawa Blg. 2. Ang isang discrete random variable ay may sumusunod na serye ng pamamahagi:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Solusyon. Ang halaga ng a ay matatagpuan mula sa kaugnayan: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 o 0.24=3 a , mula sa kung saan a = 0.08
Halimbawa Blg. 3. Tukuyin ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable kung ang pagkakaiba nito ay kilala, at x 1
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3
d(x)=12.96
Solusyon.
Dito kailangan mong lumikha ng isang formula para sa paghahanap ng variance d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kung saan ang inaasahan m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Para sa aming data
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Alinsunod dito, kailangan nating hanapin ang mga ugat ng equation, at magkakaroon ng dalawa sa kanila.
x 3 =8, x 3 =12
Piliin ang isa na nakakatugon sa kundisyon x 1
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3