Kilalang mathematical expectation a. Pag-asa sa matematika ng isang random na variable

Ang inaasahan sa matematika ay, ang kahulugan

Mat naghihintay ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad, na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga halaga o mga probabilidad random variable. Karaniwang ipinapahayag bilang weighted average ng lahat ng posibleng parameter ng random variable. Ito ay malawakang ginagamit sa teknikal na pagsusuri, pag-aaral ng serye ng numero, pag-aaral ng tuloy-tuloy at pangmatagalang proseso. Ito ay mahalaga sa pagtatasa ng mga panganib, paghula ng mga tagapagpahiwatig ng presyo kapag nangangalakal sa mga pamilihan sa pananalapi, at ginagamit sa pagbuo ng mga estratehiya at pamamaraan ng mga taktika ng laro sa teorya ng pagsusugal.

Naghihintay ang checkmate- Ito mean value ng isang random variable, distribution mga probabilidad ang random variable ay isinasaalang-alang sa probability theory.

Mat naghihintay ay sukatan ng mean value ng isang random variable sa probability theory. Inaasahan sa matematika ng isang random na variable x denoted M(x).

Ang inaasahan sa matematika (Mean ng populasyon) ay

Mat naghihintay ay

Mat naghihintay ay sa probability theory, ang weighted average ng lahat ng posibleng value na maaaring kunin ng random variable na ito.

Mat naghihintay ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable sa pamamagitan ng mga probabilidad ng mga halagang ito.

Ang inaasahan sa matematika (Mean ng populasyon) ay

Mat naghihintay ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa balangkas ng teorya ng malalaking numero at isang mahabang distansya.

Mat naghihintay ay sa teorya ng pagsusugal, ang halaga ng mga panalo na maaaring kumita o matalo ng isang speculator, sa karaniwan, para sa bawat taya. Sa wika ng sugal mga speculators minsan ito ay tinatawag na "advantage speculator” (kung ito ay positibo para sa speculator) o “house edge” (kung ito ay negatibo para sa speculator).

Ang inaasahan sa matematika (Mean ng populasyon) ay

Ang konsepto ng mathematical expectation ay maaaring isaalang-alang gamit ang halimbawa ng paghagis ng dice. Sa bawat paghagis, ang mga nahulog na puntos ay naitala. Ang mga likas na halaga sa hanay 1 - 6 ay ginagamit upang ipahayag ang mga ito.

Pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga throws, gamit ang mga simpleng kalkulasyon, maaari mong mahanap ang arithmetic mean ng mga puntos na bumagsak.

Pati na rin ang pagbaba ng alinman sa mga value ng range, magiging random ang value na ito.

At kung dagdagan mo ang bilang ng mga throws ng ilang beses? Sa isang malaking bilang ng mga throws, ang arithmetic mean na halaga ng mga puntos ay lalapit sa isang tiyak na numero, na sa probability theory ay nakatanggap ng pangalan ng mathematical expectation.

Kaya, ang inaasahan sa matematika ay nauunawaan bilang ang average na halaga ng isang random na variable. Ang tagapagpahiwatig na ito ay maaari ding ipakita bilang isang timbang na kabuuan ng mga posibleng halaga.

Ang konseptong ito ay may ilang kasingkahulugan:

average na halaga;
average na halaga;
tagapagpahiwatig ng gitnang trend;
unang sandali.

Sa madaling salita, ito ay hindi hihigit sa isang numero sa paligid kung saan ang mga halaga ng isang random na variable ay ipinamamahagi.

Sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, ang mga diskarte sa pag-unawa sa inaasahan sa matematika ay medyo magkakaiba.

Maaari itong tingnan bilang:

ang average na benepisyo na natanggap mula sa pag-ampon ng isang desisyon, sa kaso kung ang naturang desisyon ay isinasaalang-alang mula sa punto ng view ng teorya ng malalaking numero;
ang posibleng halaga ng panalo o pagkatalo (teorya ng pagsusugal), na kinakalkula sa average para sa bawat isa sa mga taya. Sa slang, parang "kalamangan ng manlalaro" (positibo para sa manlalaro) o "kalamangan sa casino" (negatibo para sa manlalaro);
porsyento ng kita na natanggap mula sa mga panalo.

Ang pag-asa sa matematika ay hindi obligado para sa ganap na lahat ng mga random na variable. Wala ito para sa mga may pagkakaiba sa katumbas na kabuuan o integral.

Mga Katangian ng Inaasahan

Tulad ng anumang parameter ng istatistika, ang inaasahan sa matematika ay may mga sumusunod na katangian:

Mga pangunahing formula para sa pag-asa sa matematika

Ang pagkalkula ng inaasahan sa matematika ay maaaring isagawa kapwa para sa mga random na variable na nailalarawan ng parehong pagpapatuloy (formula A) at discreteness (formula B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kung saan ang xi ay ang mga halaga ng random variable, ang pi ay ang mga probabilities:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kung saan ang f(x) ay isang ibinigay na probability density.

Mga halimbawa ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika

Halimbawa A.

Posible bang malaman ang average na taas ng mga gnome sa fairy tale tungkol kay Snow White. Ito ay kilala na ang bawat isa sa 7 gnomes ay may isang tiyak na taas: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 at 0.81 m.

Ang algorithm ng pagkalkula ay medyo simple:

hanapin ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng tagapagpahiwatig ng paglago (random variable):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Ang resultang halaga ay hinati sa bilang ng mga gnome:
6,31:7=0,90.

Kaya, ang average na taas ng mga gnome sa isang fairy tale ay 90 cm. Sa madaling salita, ito ang mathematical na inaasahan ng paglago ng mga gnome.

Gumagamit na formula - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Praktikal na pagpapatupad ng inaasahan sa matematika

Ang pagkalkula ng istatistikal na tagapagpahiwatig ng pag-asa sa matematika ay ginagamit sa iba't ibang mga lugar ng praktikal na aktibidad. Una sa lahat, pinag-uusapan natin ang komersyal na globo. Sa katunayan, ang pagpapakilala ng tagapagpahiwatig na ito ng Huygens ay konektado sa pagpapasiya ng mga pagkakataon na maaaring maging kanais-nais, o, sa kabaligtaran, hindi kanais-nais, para sa ilang kaganapan.

Ang parameter na ito ay malawakang ginagamit para sa pagtatasa ng panganib, lalo na pagdating sa mga pamumuhunan sa pananalapi.
Kaya, sa negosyo, ang pagkalkula ng pag-asa sa matematika ay gumaganap bilang isang paraan para sa pagtatasa ng panganib kapag kinakalkula ang mga presyo.

Gayundin, ang tagapagpahiwatig na ito ay maaaring gamitin kapag kinakalkula ang pagiging epektibo ng ilang mga hakbang, halimbawa, sa proteksyon sa paggawa. Salamat dito, maaari mong kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap.

Ang isa pang lugar ng aplikasyon ng parameter na ito ay pamamahala. Maaari rin itong kalkulahin sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto. Halimbawa, ang paggamit ng banig. inaasahan, maaari mong kalkulahin ang posibleng bilang ng paggawa ng mga may sira na bahagi.

Ang pag-asa sa matematika ay kailangan din sa panahon ng pagpoproseso ng istatistika ng mga resulta na nakuha sa kurso ng siyentipikong pananaliksik. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang posibilidad ng isang nais o hindi kanais-nais na resulta ng isang eksperimento o pag-aaral, depende sa antas ng pagkamit ng layunin. Pagkatapos ng lahat, ang tagumpay nito ay maaaring iugnay sa pakinabang at kita, at ang hindi pagkamit nito - bilang isang pagkawala o pagkawala.

Paggamit ng Mathematical Expectation sa Forex

Ang praktikal na aplikasyon ng istatistikal na parameter na ito ay posible kapag nagsasagawa ng mga transaksyon sa foreign exchange market. Maaari itong magamit upang pag-aralan ang tagumpay ng mga transaksyon sa kalakalan. Bukod dito, ang pagtaas sa halaga ng inaasahan ay nagpapahiwatig ng pagtaas sa kanilang tagumpay.

Mahalaga rin na tandaan na ang inaasahan sa matematika ay hindi dapat ituring bilang ang tanging istatistikal na parameter na ginagamit upang pag-aralan ang pagganap ng isang mangangalakal. Ang paggamit ng ilang istatistikal na parameter kasama ang average na halaga ay nagpapataas ng katumpakan ng pagsusuri minsan.

Ang parameter na ito ay napatunayang mabuti sa pagsubaybay sa mga obserbasyon ng mga trading account. Salamat sa kanya, ang isang mabilis na pagtatasa ng gawaing isinagawa sa deposito account ay isinasagawa. Sa mga kaso kung saan matagumpay ang aktibidad ng negosyante at iniiwasan niya ang mga pagkalugi, hindi inirerekomenda na gamitin lamang ang pagkalkula ng inaasahan sa matematika. Sa mga kasong ito, ang mga panganib ay hindi isinasaalang-alang, na binabawasan ang pagiging epektibo ng pagsusuri.

Ang isinagawang pag-aaral ng mga taktika ng mga mangangalakal ay nagpapahiwatig na:

ang pinaka-epektibo ay mga taktika batay sa random na input;
ang hindi gaanong epektibo ay mga taktika batay sa mga nakabalangkas na input.

Upang makamit ang mga positibong resulta, ito ay pantay na mahalaga:

mga taktika sa pamamahala ng pera;
mga diskarte sa paglabas.

Gamit ang naturang indicator bilang ang mathematical expectation, maaari nating ipagpalagay kung ano ang magiging tubo o pagkawala kapag namumuhunan ng 1 dolyar. Ito ay kilala na ang tagapagpahiwatig na ito, na kinakalkula para sa lahat ng mga laro na isinagawa sa casino, ay pabor sa institusyon. Ito ang nagpapahintulot sa iyo na kumita ng pera. Sa kaso ng isang mahabang serye ng mga laro, ang posibilidad na mawalan ng pera ng kliyente ay tumataas nang malaki.

Ang mga laro ng mga propesyonal na manlalaro ay limitado sa maliliit na yugto ng panahon, na nagpapataas ng pagkakataong manalo at nagpapababa ng panganib na matalo. Ang parehong pattern ay sinusunod sa pagganap ng mga pagpapatakbo ng pamumuhunan.

Ang isang mamumuhunan ay maaaring kumita ng isang malaking halaga na may positibong inaasahan at isang malaking bilang ng mga transaksyon sa isang maikling panahon.

Ang pag-asa ay maaaring isipin bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng porsyento ng kita (PW) na beses ang average na kita (AW) at ang posibilidad ng pagkalugi (PL) na beses ang average na pagkawala (AL).

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod: posisyon - 12.5 libong dolyar, portfolio - 100 libong dolyar, panganib sa bawat deposito - 1%. Ang kakayahang kumita ng mga transaksyon ay 40% ng mga kaso na may average na kita na 20%. Sa kaganapan ng isang pagkawala, ang average na pagkawala ay 5%. Ang pagkalkula ng mathematical na inaasahan para sa isang kalakalan ay nagbibigay ng halaga na $625.

Ang mathematical expectation ay ang probability distribution ng isang random variable

Pag-asa sa matematika, kahulugan, pag-asa sa matematika ng mga discrete at tuluy-tuloy na random na variable, selective, conditional expectation, kalkulasyon, mga katangian, mga gawain, pagtatantya ng inaasahan, pagkakaiba, distribution function, mga formula, mga halimbawa ng pagkalkula

Palawakin ang nilalaman

I-collapse ang nilalaman

Ang inaasahan sa matematika ay, ang kahulugan

Isa sa mga pinakamahalagang konsepto sa mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad, na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga halaga o probabilidad ng isang random na variable. Karaniwang ipinapahayag bilang weighted average ng lahat ng posibleng parameter ng random variable. Ito ay malawakang ginagamit sa teknikal na pagsusuri, pag-aaral ng serye ng numero, pag-aaral ng tuloy-tuloy at pangmatagalang proseso. Mahalaga ito sa pagtatasa ng mga panganib, paghula ng mga tagapagpahiwatig ng presyo kapag nangangalakal sa mga pamilihang pinansyal, at ginagamit sa pagbuo ng mga estratehiya at pamamaraan ng mga taktika sa laro sa teorya ng pagsusugal.

Ang inaasahan sa matematika ay ang ibig sabihin ng halaga ng isang random na variable, ang probability distribution ng isang random variable ay isinasaalang-alang sa probability theory.

Ang inaasahan sa matematika ay sukatan ng mean value ng isang random variable sa probability theory. Pag-asa sa matematika ng isang random na variable x denoted M(x).

Ang inaasahan sa matematika ay

Ang inaasahan sa matematika ay sa probability theory, ang weighted average ng lahat ng posibleng value na maaaring kunin ng random variable na ito.

Ang inaasahan sa matematika ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable sa pamamagitan ng mga probabilidad ng mga halagang ito.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa balangkas ng teorya ng malalaking numero at isang mahabang distansya.

Ang inaasahan sa matematika ay sa teorya ng pagsusugal, ang halaga ng mga panalo na maaaring kumita o matalo ng isang manlalaro, sa karaniwan, para sa bawat taya. Sa wika ng mga sugarol, ito ay tinatawag minsan na "gamer's edge" (kung positibo para sa player) o "house edge" (kung negatibo para sa player).

Ang inaasahan sa matematika ay Porsiyento ng tubo sa bawat panalo na pinarami ng average na kita na binawasan ang posibilidad ng pagkatalo na pinarami ng average na pagkatalo.

Mathematical expectation ng isang random variable sa matematika theory

Isa sa mga mahalagang katangiang pang-numero ng isang random na variable ay ang mathematical expectation. Ipakilala natin ang konsepto ng isang sistema ng mga random na variable. Isaalang-alang ang isang hanay ng mga random na variable na mga resulta ng parehong random na eksperimento. Kung ito ay isa sa mga posibleng halaga ng system, kung gayon ang kaganapan ay tumutugma sa isang tiyak na posibilidad na nakakatugon sa mga axiom ng Kolmogorov. Ang isang function na tinukoy para sa anumang posibleng mga halaga ng mga random na variable ay tinatawag na joint distribution law. Binibigyang-daan ka ng function na ito na kalkulahin ang mga probabilidad ng anumang mga kaganapan mula sa. Sa partikular, ang magkasanib na batas ng pamamahagi ng mga random na variable at, na kumukuha ng mga halaga mula sa set at, ay ibinibigay ng mga probabilidad.

Ang terminong "expectation" ay ipinakilala ni Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) at nagmula sa konsepto ng "inaasahang halaga ng kabayaran", na unang lumitaw noong ika-17 siglo sa teorya ng pagsusugal sa mga gawa nina Blaise Pascal at Christian Huygens . Gayunpaman, ang unang kumpletong teoretikal na pag-unawa at pagsusuri ng konseptong ito ay ibinigay ni Pafnuty Lvovich Chebyshev (kalagitnaan ng ika-19 na siglo).

Ang batas ng pamamahagi ng mga random na numerical variable (ang distribution function at ang distribution series o probability density) ay ganap na naglalarawan ng gawi ng isang random variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian ng dami na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga nito at posibleng paglihis mula dito) upang masagot ang tanong na ibinibigay. Ang pangunahing numerical na katangian ng mga random na variable ay ang mathematical expectation, variance, mode at median.

Ang pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad. Minsan ang pag-asa sa matematika ay tinatawag na weighted average, dahil ito ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Mula sa kahulugan ng mathematical expectation, sumusunod na ang halaga nito ay hindi bababa sa pinakamaliit na posibleng halaga ng isang random variable at hindi hihigit sa pinakamalaking. Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay isang non-random (constant) variable.

Ang pag-asa sa matematika ay may simpleng pisikal na kahulugan: kung ang isang unit mass ay inilagay sa isang tuwid na linya, naglalagay ng ilang masa sa ilang mga punto (para sa isang discrete distribution), o "pahiran" ito ng isang tiyak na density (para sa isang ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi), pagkatapos ay ang puntong naaayon sa matematikal na inaasahan ay ang coordinate na "center of gravity" na tuwid.

Ang average na halaga ng isang random na variable ay isang tiyak na numero, na kung saan ay, bilang ito ay, ang "kinatawan" nito at pinapalitan ito sa magaspang na tinatayang mga kalkulasyon. Kapag sinabi namin: "ang average na oras ng pagpapatakbo ng lamp ay 100 oras" o "ang average na punto ng epekto ay inilipat kaugnay sa target ng 2 m sa kanan", ipinapahiwatig namin sa pamamagitan nito ang isang tiyak na numerical na katangian ng isang random na variable na naglalarawan nito lokasyon sa numerical axis, i.e. paglalarawan ng posisyon.

Sa mga katangian ng isang posisyon sa probability theory, ang pinakamahalagang papel ay ginagampanan ng matematikal na pag-asa ng isang random variable, na kung minsan ay tinatawag lamang na average na halaga ng isang random variable.

Isaalang-alang ang isang random na variable X, na may mga posibleng halaga x1, x2, …, xn may probabilidad p1, p2, …, pn. Kailangan nating kilalanin sa pamamagitan ng ilang numero ang posisyon ng mga halaga ng random na variable sa x-axis, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga halagang ito ay may iba't ibang mga probabilidad. Para sa layuning ito, natural na gamitin ang tinatawag na "weighted average" ng mga halaga xi, at ang bawat halaga xi sa panahon ng pag-average ay dapat isaalang-alang na may "timbang" na proporsyonal sa posibilidad ng halagang ito. Kaya, kakalkulahin natin ang ibig sabihin ng random variable X, na ating tutukuyin M|X|:

Ang weighted average na ito ay tinatawag na mathematical expectation ng random variable. Kaya, ipinakilala namin bilang pagsasaalang-alang ang isa sa pinakamahalagang konsepto ng teorya ng probabilidad - ang konsepto ng pag-asa sa matematika. Ang inaasahan sa matematika ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang mga probabilities ng mga halagang ito.

X dahil sa isang kakaibang pag-asa sa arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable na may malaking bilang ng mga eksperimento. Ang pag-asa na ito ay kapareho ng uri ng pag-asa sa pagitan ng dalas at posibilidad, lalo na: na may malaking bilang ng mga eksperimento, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable ay lumalapit (nagsasama-sama sa posibilidad) ang inaasahan sa matematika nito. Mula sa pagkakaroon ng isang relasyon sa pagitan ng dalas at posibilidad, ang isa ay maaaring mahihinuha bilang isang resulta ng pagkakaroon ng isang katulad na relasyon sa pagitan ng arithmetic mean at matematikal na inaasahan. Sa katunayan, isaalang-alang ang isang random na variable X, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang serye ng mga pamamahagi:

Hayaan itong mabuo N mga independiyenteng eksperimento, kung saan ang bawat isa ay may halaga X tumatagal ng isang tiyak na halaga. Ipagpalagay na ang halaga x1 lumitaw m1 beses, halaga x2 lumitaw m2 beses, pangkalahatang kahulugan xi lumitaw mi times. Kalkulahin natin ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng X, na, sa kaibahan sa inaasahan ng matematika M|X| kami ay magsasaad M*|X|:

Sa pagtaas ng bilang ng mga eksperimento N mga frequency pi lalapit (magtatagpo sa posibilidad) ang mga katumbas na probabilidad. Samakatuwid, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable M|X| na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ito ay lalapit (magtatagpo sa posibilidad) sa kanyang inaasahan sa matematika. Ang koneksyon sa pagitan ng arithmetic mean at ang mathematical expectation na nabuo sa itaas ay bumubuo sa nilalaman ng isa sa mga anyo ng batas ng malalaking numero.

Alam na natin na ang lahat ng anyo ng batas ng malalaking numero ay nagsasaad ng katotohanan na ang ilang mga average ay matatag sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Dito pinag-uusapan natin ang katatagan ng arithmetic mean mula sa isang serye ng mga obserbasyon ng parehong halaga. Sa isang maliit na bilang ng mga eksperimento, ang arithmetic mean ng kanilang mga resulta ay random; na may sapat na pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ito ay nagiging "halos hindi random" at, nagpapatatag, lumalapit sa isang pare-parehong halaga - ang inaasahan sa matematika.

Ang pag-aari ng katatagan ng mga average para sa isang malaking bilang ng mga eksperimento ay madaling i-verify nang eksperimento. Halimbawa, ang pagtimbang ng anumang katawan sa laboratoryo sa tumpak na mga timbangan, bilang resulta ng pagtimbang ay nakakakuha tayo ng bagong halaga sa bawat oras; upang mabawasan ang pagkakamali ng pagmamasid, tinitimbang namin ang katawan ng ilang beses at ginagamit ang arithmetic mean ng mga nakuhang halaga. Madaling makita na sa isang karagdagang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (pagtimbang), ang arithmetic mean ay tumutugon sa pagtaas na ito nang mas kaunti, at sa isang sapat na malaking bilang ng mga eksperimento ay halos huminto sa pagbabago.

Dapat pansinin na ang pinakamahalagang katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang inaasahan sa matematika - ay hindi umiiral para sa lahat ng mga random na variable. Posibleng gumawa ng mga halimbawa ng mga random na variable kung saan ang inaasahan sa matematika ay hindi umiiral, dahil ang katumbas na kabuuan o integral ay nag-iiba. Gayunpaman, para sa pagsasanay, ang mga ganitong kaso ay hindi makabuluhang interes. Karaniwan, ang mga random na variable na ating kinakaharap ay may limitadong hanay ng mga posibleng halaga at, siyempre, may inaasahan.

Bilang karagdagan sa pinakamahalaga sa mga katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang inaasahan sa matematika, ang iba pang mga katangian ng posisyon ay minsan ginagamit sa pagsasanay, sa partikular, ang mode at median ng random variable.

Ang mode ng isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito. Ang terminong "malamang na halaga", sa mahigpit na pagsasalita, ay nalalapat lamang sa mga hindi tuloy-tuloy na dami; para sa tuloy-tuloy na dami, ang mode ay ang halaga kung saan ang probability density ay maximum. Ang mga numero ay nagpapakita ng mode para sa hindi tuloy-tuloy at tuluy-tuloy na mga random na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang distribution polygon (distribution curve) ay may higit sa isang maximum, ang distribution ay sinasabing "polymodal".

Minsan may mga distribusyon na nasa gitna ay hindi isang maximum, ngunit isang minimum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag na "antimodal".

Sa pangkalahatang kaso, ang mode at ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa isang partikular na kaso, kapag ang distribusyon ay simetriko at modal (i.e. may mode) at mayroong matematikal na pag-asa, pagkatapos ito ay tumutugma sa mode at sa sentro ng simetrya ng pamamahagi.

Ang isa pang katangian ng posisyon ay madalas na ginagamit - ang tinatawag na median ng isang random na variable. Ang katangiang ito ay kadalasang ginagamit lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, bagama't maaari din itong pormal na tukuyin para sa isang discontinuous variable din. Sa geometrically, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nalilimitahan ng distribution curve ay nahahati.

Sa kaso ng simetriko modal distribution, ang median ay tumutugma sa mean at mode.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na halaga ng isang random na variable - isang numerical na katangian ng probability distribution ng isang random variable. Sa pinaka-pangkalahatang paraan, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X(w) ay tinukoy bilang integral ng Lebesgue na may paggalang sa sukatan ng posibilidad R sa orihinal na puwang ng posibilidad:

Ang mathematical expectation ay maaari ding kalkulahin bilang Lebesgue integral ng X sa pamamagitan ng probability distribution px dami X:

Sa natural na paraan, maaaring tukuyin ng isa ang konsepto ng isang random na variable na may walang katapusang pag-asa sa matematika. Ang isang tipikal na halimbawa ay ang mga oras ng pagbalik sa ilang random na paglalakad.

Sa tulong ng pag-asa sa matematika, maraming mga numerical at functional na katangian ng pamamahagi ang natutukoy (bilang ang matematikal na inaasahan ng kaukulang mga function ng isang random na variable), halimbawa, pagbuo ng function, katangian ng function, mga sandali ng anumang pagkakasunud-sunod, lalo na, pagpapakalat. , covariance.

Ang pag-asa sa matematika ay isang katangian ng lokasyon ng mga halaga ng isang random na variable (ang average na halaga ng pamamahagi nito). Sa kapasidad na ito, ang mathematical expectation ay nagsisilbing ilang "typical" distribution parameter at ang papel nito ay katulad ng role ng static moment - ang coordinate ng center of gravity ng mass distribution - sa mechanics. Mula sa iba pang mga katangian ng lokasyon, sa tulong ng kung saan ang pamamahagi ay inilarawan sa pangkalahatang mga termino - median, mga mode, ang matematikal na inaasahan ay naiiba sa mas malaking halaga na ito at ang kaukulang scattering na katangian - pagpapakalat - mayroon sa limitasyon theorems ng probability theory. Sa pinakadakilang pagkakumpleto, ang kahulugan ng pag-asa sa matematika ay ipinahayag ng batas ng malalaking numero (hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev) at ang pinalakas na batas ng malalaking numero.

Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable

Hayaang magkaroon ng ilang random na variable na maaaring tumagal ng isa sa ilang mga numerical value (halimbawa, ang bilang ng mga puntos sa isang die roll ay maaaring 1, 2, 3, 4, 5, o 6). Kadalasan sa pagsasagawa, para sa gayong halaga, ang tanong ay lumitaw: anong halaga ang kinukuha "sa karaniwan" na may malaking bilang ng mga pagsubok? Ano ang magiging average na kita (o pagkawala) natin mula sa bawat mapanganib na transaksyon?

Sabihin nating mayroong ilang uri ng lottery. Gusto naming maunawaan kung kumikita o hindi ang pakikilahok dito (o kahit na paulit-ulit, regular na pakikilahok). Sabihin nating ang bawat ikaapat na tiket ay mananalo, ang premyo ay magiging 300 rubles, at ang presyo ng anumang tiket ay magiging 100 rubles. Sa walang katapusang bilang ng mga kalahok, ito ang nangyayari. Sa tatlong-kapat ng mga kaso, matatalo tayo, bawat tatlong pagkalugi ay nagkakahalaga ng 300 rubles. Sa bawat ikaapat na kaso, mananalo kami ng 200 rubles. (premyo minus gastos), iyon ay, para sa apat na paglahok, nawalan kami ng isang average ng 100 rubles, para sa isa - isang average ng 25 rubles. Sa kabuuan, ang average na rate ng aming pagkasira ay magiging 25 rubles bawat tiket.

Naghahagis kami ng dice. Kung hindi ito panloloko (nang hindi inililipat ang sentro ng grabidad, atbp.), kung gaano karaming mga puntos ang mayroon tayo sa karaniwan sa isang pagkakataon? Dahil pare-pareho ang posibilidad ng bawat opsyon, kinukuha namin ang stupid arithmetic mean at nakakuha kami ng 3.5. Dahil ito ay AVERAGE, hindi na kailangang magalit na walang partikular na itapon ang magbibigay ng 3.5 puntos - mabuti, ang kubo na ito ay walang mukha na may ganoong numero!

Ngayon ay ibubuod natin ang ating mga halimbawa:

Tingnan natin ang larawan sa itaas. Sa kaliwa ay isang talahanayan ng pamamahagi ng isang random na variable. Ang halaga ng X ay maaaring tumagal ng isa sa n posibleng mga halaga (ibinigay sa itaas na hilera). Maaaring walang ibang mga halaga. Sa ilalim ng bawat posibleng halaga, ang posibilidad nito ay nilagdaan sa ibaba. Sa kanan ay isang formula, kung saan ang M(X) ay tinatawag na mathematical expectation. Ang kahulugan ng halagang ito ay na sa isang malaking bilang ng mga pagsubok (na may isang malaking sample), ang average na halaga ay may posibilidad na ito ay napaka-matematika na inaasahan.

Bumalik tayo sa parehong playing cube. Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos sa isang throw ay 3.5 (kalkulahin ang iyong sarili gamit ang formula kung hindi ka naniniwala dito). Sabihin nating inihagis mo ito ng ilang beses. Nahulog ang 4 at 6. Sa karaniwan, naging 5, iyon ay, malayo sa 3.5. Muli nilang inihagis, 3 ang nahulog, iyon ay, sa karaniwan (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Kahit papaano malayo sa inaasahan ng matematika. Ngayon gumawa ng isang nakatutuwang eksperimento - igulong ang kubo ng 1000 beses! At kung ang average ay hindi eksaktong 3.5, kung gayon ito ay magiging malapit doon.

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa inilarawan sa itaas na lottery. Ang talahanayan ay magiging ganito:

Kung gayon ang pag-asa sa matematika ay magiging, tulad ng itinatag namin sa itaas.:

Isa pa, "on the fingers" din ito, kung walang formula, mahirap kung marami pang pagpipilian. Well, sabihin nating mayroong 75% na natalong mga tiket, 20% na nanalong mga tiket, at 5% na nanalong mga tiket.

Ngayon ang ilang mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Madaling patunayan ito:

Ang isang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa tanda ng inaasahan, iyon ay:

Ito ay isang espesyal na kaso ng linearity property ng mathematical expectation.

Isa pang kinahinatnan ng linearity ng mathematical expectation:

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng sum ng random variables ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng random variables.

Hayaan ang X, Y na maging independent random variable, Pagkatapos:

Madali din itong patunayan) XY mismo ay isang random na variable, habang kung ang mga paunang halaga ay maaaring tumagal n At m mga halaga, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos XY maaaring kumuha ng mga halaga ng nm. Ang posibilidad ng bawat isa sa mga halaga ay kinakalkula batay sa katotohanan na ang mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay pinarami. Bilang resulta, nakukuha namin ito:

Pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable

Ang mga tuluy-tuloy na random na variable ay may katangian tulad ng density ng pamamahagi (probability density). Ito, sa katunayan, ay nagpapakilala sa sitwasyon na ang isang random na variable ay kumukuha ng ilang mga halaga mula sa hanay ng mga tunay na numero nang mas madalas, ang ilan - mas madalas. Halimbawa, isaalang-alang ang tsart na ito:

Dito X- talagang isang random na variable, f(x)- density ng pamamahagi. Sa paghusga sa graph na ito, sa panahon ng mga eksperimento, ang halaga X kadalasan ay isang numerong malapit sa zero. mga pagkakataong lumampas 3 o maging mas kaunti -3 sa halip ay puro teoretikal.

Hayaan, halimbawa, mayroong isang pare-parehong pamamahagi:

Ito ay medyo pare-pareho sa intuitive na pag-unawa. Sabihin nating kung makakakuha tayo ng maraming random na totoong numero na may pare-parehong pamamahagi, bawat isa sa mga segment |0; 1| , kung gayon ang arithmetic mean ay dapat na mga 0.5.

Ang mga katangian ng mathematical expectation - linearity, atbp., na naaangkop para sa mga discrete random variable, ay naaangkop din dito.

Ang kaugnayan ng pag-asa sa matematika sa iba pang mga istatistikal na tagapagpahiwatig

Sa pagtatasa ng istatistika, kasama ang pag-asa sa matematika, mayroong isang sistema ng magkakaugnay na mga tagapagpahiwatig na sumasalamin sa homogeneity ng mga phenomena at ang katatagan ng mga proseso. Kadalasan, ang mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay walang independiyenteng kahulugan at ginagamit para sa karagdagang pagsusuri ng data. Ang pagbubukod ay ang koepisyent ng pagkakaiba-iba, na nagpapakilala sa homogeneity ng data, na isang mahalagang istatistikal na katangian.

Ang antas ng pagkakaiba-iba o katatagan ng mga proseso sa istatistikal na agham ay maaaring masukat gamit ang ilang mga tagapagpahiwatig.

Ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa pagkakaiba-iba ng isang random na variable ay Pagpapakalat, na pinaka malapit at direktang nauugnay sa inaasahan sa matematika. Ang parameter na ito ay aktibong ginagamit sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri (pagsusuri ng hypothesis, pagsusuri ng mga ugnayang sanhi-at-epekto, atbp.). Tulad ng mean linear deviation, ang variance ay sumasalamin din sa lawak kung saan kumalat ang data sa paligid ng mean.

Kapaki-pakinabang na isalin ang wika ng mga palatandaan sa wika ng mga salita. Lumalabas na ang pagkakaiba ay ang average na parisukat ng mga paglihis. Iyon ay, ang average na halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos ay ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat orihinal at average na halaga ay kinuha, kuwadrado, idinagdag at pagkatapos ay hinati sa bilang ng mga halaga sa populasyon na ito. Ang pagkakaiba sa pagitan ng indibidwal na halaga at ang ibig sabihin ay sumasalamin sa sukatan ng paglihis. Ito ay naka-squad upang matiyak na ang lahat ng mga paglihis ay magiging eksklusibong positibong mga numero at upang maiwasan ang magkaparehong pagkansela ng mga positibo at negatibong mga paglihis kapag ang mga ito ay pinagsama-sama. Pagkatapos, dahil sa mga squared deviations, kinakalkula lang namin ang arithmetic mean. Average - parisukat - deviations. Ang mga paglihis ay parisukat, at ang average ay isinasaalang-alang. Ang sagot sa magic word na "dispersion" ay tatlong salita lamang.

Gayunpaman, sa dalisay nitong anyo, tulad ng, halimbawa, ang arithmetic mean, o index, hindi ginagamit ang dispersion. Ito ay isang pantulong at intermediate na tagapagpahiwatig na ginagamit para sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri. Wala man lang siyang normal na yunit ng sukat. Sa paghusga sa formula, ito ang parisukat ng orihinal na yunit ng data.

Sukatin natin ang isang random na variable N beses, halimbawa, sinusukat namin ang bilis ng hangin nang sampung beses at gustong hanapin ang average na halaga. Paano nauugnay ang mean value sa distribution function?

O magpapagulong tayo ng dice ng maraming beses. Ang bilang ng mga puntos na mahuhulog sa die sa bawat paghagis ay isang random na variable at maaaring tumagal ng anumang natural na mga halaga mula 1 hanggang 6. N ito ay may posibilidad sa isang napaka-espesipikong numero - ang mathematical na inaasahan Mx. Sa kasong ito, Mx = 3.5.

Paano nangyari ang halagang ito? Papasukin N mga pagsubok n1 kapag bumaba ang 1 puntos, n2 beses - 2 puntos at iba pa. Pagkatapos ang bilang ng mga kinalabasan kung saan nahulog ang isang punto:

Katulad din para sa mga kinalabasan kapag nahulog ang 2, 3, 4, 5 at 6 na puntos.

Ipagpalagay natin ngayon na alam natin ang batas ng pamamahagi ng random variable x, iyon ay, alam natin na ang random variable x ay maaaring kumuha ng mga halaga x1, x2, ..., xk na may probabilities p1, p2, ... , pk.

Ang mathematical expectation Mx ng isang random variable x ay:

Ang inaasahan sa matematika ay hindi palaging isang makatwirang pagtatantya ng ilang random na variable. Kaya, upang tantiyahin ang average na sahod, mas makatwirang gamitin ang konsepto ng median, iyon ay, tulad ng isang halaga na ang bilang ng mga tao na tumatanggap ng mas mababa kaysa sa median na suweldo at higit pa, ay pareho.

Ang probability p1 na ang random variable x ay mas mababa sa x1/2 at ang probability p2 na ang random variable x ay mas malaki kaysa sa x1/2 ay pareho at katumbas ng 1/2. Ang median ay hindi natatanging tinutukoy para sa lahat ng mga distribusyon.

Pamantayang o Standard Deviation sa statistics, tinatawag ang degree ng deviation ng observational data o sets mula sa AVERAGE value. Tinutukoy ng mga letrang s o s. Ang isang maliit na standard deviation ay nagpapahiwatig na ang data ay nakapangkat sa paligid ng mean, at ang isang malaking standard deviation ay nagpapahiwatig na ang paunang data ay malayo mula dito. Ang standard deviation ay katumbas ng square root ng isang quantity na tinatawag na variance. Ito ay ang average ng kabuuan ng mga squared na pagkakaiba ng paunang data na lumilihis mula sa mean. Ang standard deviation ng isang random variable ay ang square root ng variance:

Halimbawa. Sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok kapag bumaril sa isang target, kalkulahin ang pagkakaiba at karaniwang paglihis ng isang random na variable:

pagkakaiba-iba- pagbabagu-bago, pagkakaiba-iba ng halaga ng katangian sa mga yunit ng populasyon. Ang hiwalay na mga numerical na halaga ng isang tampok na nangyayari sa pinag-aralan na populasyon ay tinatawag na mga variant ng mga halaga. Ang kakulangan ng average na halaga para sa isang kumpletong paglalarawan ng populasyon ay ginagawang kinakailangan upang madagdagan ang average na mga halaga ng mga tagapagpahiwatig na ginagawang posible upang masuri ang tipikal ng mga average na ito sa pamamagitan ng pagsukat ng pagbabagu-bago (variation) ng katangian na pinag-aaralan. Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay kinakalkula ng formula:

Pagbabago ng span(R) ay ang pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na halaga ng katangian sa pinag-aralan na populasyon. Ang tagapagpahiwatig na ito ay nagbibigay ng pinaka-pangkalahatang ideya ng pagbabagu-bago ng katangian sa ilalim ng pag-aaral, dahil ito ay nagpapakita ng pagkakaiba lamang sa pagitan ng mga matinding halaga ng mga pagpipilian. Ang pag-asa sa matinding halaga ng katangian ay nagbibigay sa hanay ng pagkakaiba-iba ng hindi matatag, random na karakter.

Average na linear deviation ay ang arithmetic mean ng absolute (modulo) deviations ng lahat ng halaga ng nasuri na populasyon mula sa kanilang average na halaga:

Pag-asa sa matematika sa teorya ng pagsusugal

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na halaga ng pera na maaaring manalo o matalo ng isang sugarol sa isang naibigay na taya. Ito ay isang napakahalagang konsepto para sa isang manlalaro, dahil ito ay mahalaga sa pagtatasa ng karamihan sa mga sitwasyon ng laro. Ang pag-asa sa matematika ay isa ring pinakamahusay na tool para sa pagsusuri ng mga pangunahing layout ng card at mga sitwasyon ng laro.

Sabihin nating naglalaro ka ng barya kasama ang isang kaibigan, gumagawa ng katumbas na $1 na taya sa bawat pagkakataon, anuman ang mangyari. Tails - panalo ka, ulo - talo ka. Ang mga pagkakataon na ito ay darating na mga buntot ay isa sa isa at ikaw ay tumataya ng $1 hanggang $1. Kaya, ang iyong inaasahan sa matematika ay zero, dahil Sa mathematically speaking, hindi mo malalaman kung mangunguna ka o matatalo pagkatapos ng dalawang roll o pagkatapos ng 200.

Ang iyong bawat oras na kita ay zero. Ang oras-oras na payout ay ang halaga ng pera na inaasahan mong manalo sa isang oras. Maaari kang mag-flip ng barya ng 500 beses sa loob ng isang oras, ngunit hindi ka mananalo o matatalo dahil ang iyong mga posibilidad ay hindi positibo o negatibo. Kung titingnan mo, mula sa punto ng view ng isang seryosong manlalaro, ang ganitong sistema ng pagtaya ay hindi masama. Pero sayang lang ang oras.

Ngunit ipagpalagay na may gustong tumaya ng $2 laban sa iyong $1 sa parehong laro. Pagkatapos ay mayroon kang positibong inaasahan na 50 cents mula sa bawat taya. Bakit 50 cents? Sa karaniwan, nanalo ka ng isang taya at matatalo ang pangalawa. Tumaya sa unang dolyar at matalo ng $1, tumaya sa pangalawa at manalo ng $2. Dalawang beses kang tumaya ng $1 at nauna ka ng $1. Kaya bawat isa sa iyong isang dolyar na taya ay nagbigay sa iyo ng 50 sentimo.

Kung ang coin ay bumagsak ng 500 beses sa isang oras, ang iyong oras-oras na kita ay magiging $250 na, dahil. sa karaniwan, natalo ka ng $1 250 beses at nanalo ng $2 250 beses. $500 minus $250 ay katumbas ng $250, na siyang kabuuang panalo. Tandaan na ang inaasahang halaga, na ang halagang napanalo mo sa average sa isang taya, ay 50 cents. Nanalo ka ng $250 sa pagtaya ng isang dolyar ng 500 beses, na katumbas ng 50 cents ng iyong taya.

Ang pag-asa sa matematika ay walang kinalaman sa mga panandaliang resulta. Ang iyong kalaban, na nagpasyang tumaya ng $2 laban sa iyo, ay maaaring talunin ka sa unang sampung sunod-sunod na paghagis, ngunit ikaw, na may 2-to-1 na bentahe sa pagtaya, lahat ng iba pa ay pantay, gumawa ng 50 sentimo sa bawat $1 na taya sa ilalim ng alinmang mga pangyayari. Hindi mahalaga kung manalo o matalo ka ng isang taya o ilang taya, ngunit sa kondisyon lamang na mayroon kang sapat na pera upang madaling mabayaran ang mga gastos. Kung patuloy kang tumaya sa parehong paraan, pagkatapos sa mahabang panahon ang iyong mga panalo ay aabot sa kabuuan ng inaasahang halaga sa mga indibidwal na roll.

Sa bawat oras na gumawa ka ng isang mas mahusay na taya (isang taya na maaaring kumita sa mahabang panahon) kapag ang mga logro ay pabor sa iyo, ikaw ay tiyak na manalo ng isang bagay dito, matalo mo man ito o hindi sa isang ibinigay na kamay. Sa kabaligtaran, kung gumawa ka ng isang taya na may mas masamang resulta (isang taya na hindi kumikita sa katagalan) kapag ang mga logro ay hindi pabor sa iyo, may natatalo ka, hindi alintana kung ikaw ay nanalo o natalo sa kamay na ito.

Tataya ka sa pinakamahusay na kinalabasan kung positibo ang iyong inaasahan, at positibo ito kung pabor sa iyo ang posibilidad. Sa pagtaya sa pinakamasamang kinalabasan, mayroon kang negatibong inaasahan, na nangyayari kapag ang mga posibilidad ay laban sa iyo. Ang mga seryosong manlalaro ay tumaya lamang na may pinakamahusay na kinalabasan, na may pinakamasama - sila ay tumiklop. Ano ang ibig sabihin ng mga posibilidad na pabor sa iyo? Maaari kang manalo ng higit pa kaysa sa aktwal na mga posibilidad na dala. Ang tunay na posibilidad ng pagtama ng mga buntot ay 1 hanggang 1, ngunit makakakuha ka ng 2 hanggang 1 dahil sa ratio ng pagtaya. Sa kasong ito, ang mga posibilidad ay pabor sa iyo. Siguradong makukuha mo ang pinakamahusay na kinalabasan na may positibong inaasahan na 50 cents bawat taya.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa ng pag-asa sa matematika. Isusulat ng kaibigan ang mga numero mula isa hanggang lima at tumaya ng $5 laban sa iyong $1 na hindi mo pipiliin ang numero. Sumasang-ayon ka ba sa gayong taya? Ano ang inaasahan dito?

Sa karaniwan, magkakamali ka ng apat na beses. Batay dito, ang mga logro sa paghula mo sa numero ay magiging 4 hanggang 1. Ang posibilidad ay mawawalan ka ng isang dolyar sa isang pagsubok. Gayunpaman, nanalo ka ng 5 sa 1, na may posibilidad na matalo 4 sa 1. Samakatuwid, ang mga logro ay pabor sa iyo, maaari mong kunin ang taya at umaasa para sa pinakamahusay na resulta. Kung gagawin mo ang taya na ito ng limang beses, sa karaniwan ay matatalo ka ng apat na beses ng $1 at manalo ng $5 nang isang beses. Batay dito, para sa lahat ng limang pagtatangka makakakuha ka ng $1 na may positibong inaasahan sa matematika na 20 cents bawat taya.

Ang isang manlalaro na mananalo ng higit sa kanyang taya, tulad ng sa halimbawa sa itaas, ay nakakakuha ng mga posibilidad. Sa kabaligtaran, sinisira niya ang mga pagkakataon kapag inaasahan niyang manalo ng mas mababa kaysa sa kanyang taya. Ang taya ay maaaring magkaroon ng alinman sa positibo o negatibong inaasahan depende sa kung siya ay nakakakuha o sumisira sa mga posibilidad.

Kung tumaya ka ng $50 para manalo ng $10 na may 4 hanggang 1 na pagkakataong manalo, makakakuha ka ng negatibong inaasahan na $2, dahil sa karaniwan, ikaw ay mananalo ng apat na beses na $10 at matatalo ng $50 nang isang beses, na nagpapakita na ang talo sa bawat taya ay magiging $10. Ngunit kung tumaya ka ng $30 para manalo ng $10, na may parehong posibilidad na manalo ng 4 hanggang 1, sa kasong ito mayroon kang positibong inaasahan na $2, dahil muli kang manalo ng apat na beses na $10 at matatalo ng $30 nang isang beses, para sa tubo na $10. Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang unang taya ay masama at ang pangalawa ay mabuti.

Ang pag-asa sa matematika ay ang sentro ng anumang sitwasyon ng laro. Kapag hinikayat ng isang bookmaker ang mga tagahanga ng football na tumaya ng $11 para manalo ng $10, mayroon silang positibong inaasahan na 50 cents para sa bawat $10. Kung ang casino ay nagbabayad ng kahit na pera mula sa Craps pass line, ang positibong inaasahan ng bahay ay humigit-kumulang $1.40 para sa bawat $100; ang larong ito ay nakaayos upang ang lahat ng tumaya sa linyang ito ay matatalo ng 50.7% sa karaniwan at manalo ng 49.3% ng oras. Walang alinlangan, ito ang tila minimal na positibong inaasahan na nagdudulot ng malaking kita sa mga may-ari ng casino sa buong mundo. Gaya ng sinabi ng may-ari ng Vegas World casino na si Bob Stupak, “Ang isang-isang-libo ng isang porsyentong negatibong posibilidad sa isang mahabang distansya ay magpapabangkarote sa pinakamayamang tao sa mundo.”

Pag-asa sa matematika kapag naglalaro ng poker

Ang laro ng Poker ay ang pinaka-naglalarawan at naglalarawan na halimbawa sa mga tuntunin ng paggamit ng teorya at mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Ang Inaasahang Halaga sa Poker ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa balangkas ng teorya ng malalaking numero at isang mahabang distansya. Ang matagumpay na poker ay tungkol sa palaging pagtanggap ng mga galaw na may positibong inaasahan sa matematika.

Ang mathematical na kahulugan ng mathematical expectation kapag naglalaro ng poker ay nakasalalay sa katotohanan na madalas tayong makatagpo ng mga random variable kapag gumagawa ng desisyon (hindi natin alam kung aling mga card ang nasa kamay ng kalaban, kung aling mga card ang darating sa mga susunod na round ng pagtaya). Dapat nating isaalang-alang ang bawat isa sa mga solusyon mula sa punto ng view ng teorya ng malalaking numero, na nagsasabing sa isang sapat na malaking sample, ang average na halaga ng isang random na variable ay may posibilidad sa kanyang inaasahan sa matematika.

Kabilang sa mga partikular na formula para sa pagkalkula ng mathematical na inaasahan, ang mga sumusunod ay pinaka-naaangkop sa poker:

Kapag naglalaro ng poker, ang mathematical expectation ay maaaring kalkulahin para sa parehong taya at tawag. Sa unang kaso, dapat isaalang-alang ang fold equity, sa pangalawa, ang sariling logro ng palayok. Kapag sinusuri ang mathematical expectation ng isang partikular na galaw, dapat tandaan na ang isang fold ay laging may zero na mathematical expectation. Kaya, ang pagtatapon ng mga card ay palaging magiging isang mas kumikitang desisyon kaysa sa anumang negatibong hakbang.

Sinasabi sa iyo ng pag-asa kung ano ang maaari mong asahan (kita o pagkawala) para sa bawat dolyar na iyong ipagsapalaran. Ang mga casino ay kumikita dahil ang mathematical na inaasahan ng lahat ng mga laro na ginagawa sa kanila ay pabor sa casino. Sa sapat na mahabang serye ng mga laro, maaaring asahan na ang kliyente ay mawawalan ng kanyang pera, dahil ang "probability" ay pabor sa casino. Gayunpaman, nililimitahan ng mga propesyonal na manlalaro ng casino ang kanilang mga laro sa maikling panahon, sa gayo'y nadaragdagan ang mga posibilidad na pabor sa kanila. Ganoon din sa pamumuhunan. Kung positibo ang iyong inaasahan, maaari kang kumita ng mas maraming pera sa pamamagitan ng paggawa ng maraming trade sa maikling panahon. Ang inaasahan ay ang iyong porsyento ng kita sa bawat panalo sa iyong average na kita na binawasan ang iyong posibilidad ng pagkalugi sa iyong average na pagkalugi.

Ang poker ay maaari ding isaalang-alang sa mga tuntunin ng pag-asa sa matematika. Maaari mong ipagpalagay na ang isang tiyak na paglipat ay kumikita, ngunit sa ilang mga kaso ay maaaring hindi ito ang pinakamahusay, dahil ang isa pang paglipat ay mas kumikita. Sabihin nating naabot mo ang isang buong bahay sa limang card draw poker. Tumaya ang kalaban mo. Alam mo na kung ikaw ay up ang ante, siya ay tatawag. Kaya ang pagtataas ay mukhang ang pinakamahusay na taktika. Ngunit kung magtataas ka, siguradong tupitik ang natitirang dalawang manlalaro. Ngunit kung tatawagan mo ang taya, ikaw ay ganap na sigurado na ang iba pang dalawang manlalaro pagkatapos mong gawin ang parehong. Kapag tinaasan mo ang taya, makakakuha ka ng isang unit, at sa pamamagitan lamang ng pagtawag, makakakuha ka ng dalawa. Kaya ang pagtawag ay nagbibigay sa iyo ng mas mataas na positibong inaasahang halaga at ito ang pinakamahusay na taktika.

Ang pag-asa sa matematika ay maaari ding magbigay ng ideya kung aling mga taktika ng poker ang hindi gaanong kumikita at alin ang mas kumikita. Halimbawa, kung naglalaro ka ng isang partikular na kamay at sa tingin mo ay 75 cents ang iyong average na talo kasama ang mga antes, dapat mong laruin ang kamay na iyon dahil ito ay mas mahusay kaysa sa pagtiklop kapag ang ante ay $1.

Ang isa pang mahalagang dahilan sa pag-unawa sa inaasahang halaga ay na nagbibigay ito sa iyo ng kapayapaan ng isip kung nanalo ka man sa isang taya o hindi: kung gumawa ka ng isang mahusay na taya o pumasa sa oras, malalaman mo na nakagawa ka o nakatipid ng isang tiyak na halaga ng pera, na hindi mai-save ng isang mahinang manlalaro. Mas mahirap magtiklop kung ikaw ay bigo na ang iyong kalaban ay may mas mahusay na kamay sa draw. Iyon ay sinabi, ang pera na naipon mo sa pamamagitan ng hindi paglalaro, sa halip na pagtaya, ay idinagdag sa iyong magdamag o buwanang panalo.

Tandaan lamang na kapag nagpalipat-lipat ka ng kamay, tatawagan ka ng iyong kalaban, at tulad ng makikita mo sa artikulong Fundamental Theorem of Poker, ito ay isa lamang sa iyong mga pakinabang. Dapat kang magsaya kapag nangyari ito. Maaari ka ring matutong masiyahan sa pagkawala ng isang kamay, dahil alam mo na ang iba pang mga manlalaro sa iyong mga sapatos ay mas malulugi.

Gaya ng tinalakay sa halimbawa ng coin game sa simula, ang oras-oras na rate ng return ay nauugnay sa mathematical expectation, at ang konseptong ito ay lalong mahalaga para sa mga propesyonal na manlalaro. Kapag ikaw ay maglalaro ng poker, dapat mong tantiyahin sa isip kung magkano ang maaari mong manalo sa isang oras ng paglalaro. Sa karamihan ng mga kaso, kakailanganin mong umasa sa iyong intuwisyon at karanasan, ngunit maaari ka ring gumamit ng ilang mathematical na kalkulasyon. Halimbawa, kung naglalaro ka ng draw lowball at nakakita ka ng tatlong manlalaro na tumaya ng $10 at pagkatapos ay gumuhit ng dalawang baraha, na isang napakasamang taktika, maaari mong kalkulahin para sa iyong sarili na sa tuwing tumaya sila ng $10 ay matatalo sila ng humigit-kumulang $2. Ginagawa ito ng bawat isa sa kanila ng walong beses sa isang oras, na nangangahulugan na ang tatlo ay nawawalan ng humigit-kumulang $48 kada oras. Isa ka sa natitirang apat na manlalaro, na humigit-kumulang pantay, kaya ang apat na manlalarong ito (at kasama ka sa kanila) ay dapat magbahagi ng $48, at bawat isa ay kikita ng $12 kada oras. Ang iyong oras-oras na rate sa kasong ito ay ang iyong bahagi lamang sa halaga ng perang nawala ng tatlong masamang manlalaro kada oras.

Sa loob ng mahabang panahon, ang kabuuang mga panalo ng manlalaro ay ang kabuuan ng kanyang mga inaasahan sa matematika sa magkakahiwalay na distribusyon. Kapag mas marami kang naglalaro na may positibong pag-asa, mas panalo ka, at sa kabaligtaran, mas maraming kamay ang naglalaro sa negatibong pag-asa, mas matatalo ka. Bilang resulta, dapat mong bigyang-priyoridad ang isang laro na maaaring mapakinabangan ang iyong positibong pag-asa o pabayaan ang iyong negatibong inaasahan upang ma-maximize mo ang iyong oras-oras na kita.

Positibong pag-asa sa matematika sa diskarte sa laro

Kung marunong kang magbilang ng mga baraha, maaari kang magkaroon ng kalamangan sa casino kung hindi ka nila mapapansin at sipain ka palabas. Gustung-gusto ng mga casino ang mga lasing na nagsusugal at hindi nila kayang magbilang ng mga baraha. Ang kalamangan ay magbibigay-daan sa iyo na manalo ng mas maraming beses kaysa sa natalo mo sa paglipas ng panahon. Ang mahusay na pamamahala ng pera gamit ang mga pagkalkula ng inaasahan ay makakatulong sa iyo na mapakinabangan ang iyong gilid at mabawasan ang iyong mga pagkalugi. Kung walang kalamangan, mas mabuting ibigay mo ang pera sa kawanggawa. Sa laro sa stock exchange, ang kalamangan ay ibinibigay ng sistema ng laro, na lumilikha ng higit na kita kaysa sa mga pagkalugi, mga pagkakaiba sa presyo at mga komisyon. Walang halaga ng pamamahala ng pera ang makakapagtipid sa isang masamang sistema ng paglalaro.

Ang isang positibong inaasahan ay tinutukoy ng isang halaga na mas mataas sa zero. Kung mas malaki ang bilang na ito, mas malakas ang inaasahan sa istatistika. Kung ang halaga ay mas mababa sa zero, ang mathematical na inaasahan ay magiging negatibo din. Kung mas malaki ang modulus ng isang negatibong halaga, mas malala ang sitwasyon. Kung zero ang resulta, break even ang expectation. Maaari ka lamang manalo kapag mayroon kang positibong inaasahan sa matematika, isang makatwirang sistema ng laro. Ang paglalaro sa intuwisyon ay humahantong sa kapahamakan.

Pag-asa sa matematika at pangangalakal ng stock

Ang pag-asa sa matematika ay isang medyo malawak na hinihiling at tanyag na tagapagpahiwatig ng istatistika sa exchange trading sa mga pamilihan sa pananalapi. Una sa lahat, ang parameter na ito ay ginagamit upang pag-aralan ang tagumpay ng pangangalakal. Hindi mahirap hulaan na kung mas malaki ang halagang ito, mas maraming dahilan upang isaalang-alang na matagumpay ang kalakalan sa ilalim ng pag-aaral. Siyempre, ang pagsusuri ng gawain ng isang negosyante ay hindi maaaring isagawa lamang sa tulong ng parameter na ito. Gayunpaman, ang kinakalkula na halaga, kasama ng iba pang mga pamamaraan ng pagtatasa ng kalidad ng trabaho, ay maaaring makabuluhang taasan ang katumpakan ng pagsusuri.

Ang pag-asa sa matematika ay madalas na kinakalkula sa mga serbisyo sa pagsubaybay sa trading account, na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na suriin ang gawaing isinagawa sa deposito. Bilang mga eksepsiyon, maaari tayong magbanggit ng mga diskarte na gumagamit ng "overstaying" ng mga nawawalang trade. Ang isang negosyante ay maaaring mapalad sa loob ng ilang panahon, at samakatuwid, sa kanyang trabaho ay maaaring walang pagkalugi. Sa kasong ito, hindi posible na mag-navigate lamang sa pamamagitan ng inaasahan, dahil ang mga panganib na ginamit sa trabaho ay hindi isasaalang-alang.

Sa pangangalakal sa merkado, ang mathematical expectation ay kadalasang ginagamit kapag hinuhulaan ang kakayahang kumita ng isang diskarte sa pangangalakal o kapag hinuhulaan ang kita ng isang mangangalakal batay sa mga istatistika ng kanyang mga nakaraang trade.

Tungkol sa pamamahala ng pera, napakahalagang maunawaan na kapag gumagawa ng mga pangangalakal na may negatibong inaasahan, walang pamamaraan sa pamamahala ng pera na tiyak na makapagbibigay ng mataas na kita. Kung patuloy mong laruin ang palitan sa ilalim ng mga kundisyong ito, kung paano mo pinamamahalaan ang iyong pera, mawawala ang iyong buong account, gaano man ito kalaki sa simula.

Ang axiom na ito ay hindi lamang totoo para sa mga negatibong expectation na laro o trade, totoo rin ito para sa even odds na mga laro. Samakatuwid, ang tanging kaso kung saan may pagkakataon kang makinabang sa katagalan ay kapag gumagawa ng mga deal na may positibong inaasahan sa matematika.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng negatibong pag-asa at positibong inaasahan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng buhay at kamatayan. Hindi mahalaga kung gaano ka positibo o gaano ka negatibo ang inaasahan; ang mahalaga ay kung ito ay positibo o negatibo. Samakatuwid, bago isaalang-alang ang pamamahala ng pera, dapat kang makahanap ng isang laro na may positibong inaasahan.

Kung wala kang larong iyon, walang halaga ng pamamahala ng pera sa mundo ang magliligtas sa iyo. Sa kabilang banda, kung mayroon kang positibong pag-asa, posible, sa pamamagitan ng wastong pamamahala ng pera, na gawing exponential growth function. Hindi mahalaga kung gaano kaliit ang positibong inaasahan! Sa madaling salita, hindi mahalaga kung gaano kumikita ang isang sistema ng kalakalan batay sa isang kontrata. Kung mayroon kang system na nanalo ng $10 bawat kontrata sa isang trade (pagkatapos ng mga bayarin at slippage), maaari mong gamitin ang mga diskarte sa pamamahala ng pera upang gawin itong mas kumikita kaysa sa isang sistema na nagpapakita ng average na tubo na $1,000 bawat trade (pagkatapos ng bawas ng mga komisyon at pagkadulas).

Ang mahalaga ay hindi kung gaano kumikita ang sistema, ngunit kung gaano katiyak na masasabing ang sistema ay magpapakita ng kahit kaunting tubo sa hinaharap. Samakatuwid, ang pinakamahalagang paghahanda na maaaring gawin ng isang mangangalakal ay upang matiyak na ang sistema ay nagpapakita ng isang positibong inaasahang halaga sa hinaharap.

Upang magkaroon ng positibong inaasahang halaga sa hinaharap, napakahalagang huwag limitahan ang antas ng kalayaan ng iyong system. Ito ay nakakamit hindi lamang sa pamamagitan ng pag-aalis o pagbabawas ng bilang ng mga parameter na i-optimize, kundi pati na rin sa pamamagitan ng pagbabawas ng maraming mga panuntunan ng system hangga't maaari. Bawat parameter na idaragdag mo, bawat panuntunang gagawin mo, bawat maliliit na pagbabagong gagawin mo sa system ay binabawasan ang bilang ng mga antas ng kalayaan. Sa isip, gusto mong bumuo ng isang medyo primitive at simpleng sistema na patuloy na magdadala ng isang maliit na kita sa halos anumang merkado. Muli, mahalagang maunawaan mo na hindi mahalaga kung gaano kumikita ang isang sistema, basta ito ay kumikita. Ang perang kikitain mo sa pangangalakal ay kikitain sa pamamagitan ng epektibong pamamahala ng pera.

Ang sistema ng pangangalakal ay isang tool lamang na nagbibigay sa iyo ng positibong inaasahan sa matematika upang magamit ang pamamahala ng pera. Ang mga system na gumagana (nagpapakita ng hindi bababa sa kaunting kita) sa isa o ilang market lang, o may iba't ibang panuntunan o parameter para sa iba't ibang market, malamang na hindi gagana sa real time nang matagal. Ang problema sa karamihan ng mga trader na nakatuon sa teknikal ay ang paggugol nila ng masyadong maraming oras at pagsisikap sa pag-optimize ng iba't ibang mga patakaran at parameter ng isang sistema ng kalakalan. Nagbibigay ito ng ganap na kabaligtaran na mga resulta. Sa halip na mag-aksaya ng enerhiya at oras ng computer sa pagtaas ng kita ng sistema ng pangangalakal, idirekta ang iyong enerhiya sa pagtaas ng antas ng pagiging maaasahan ng pagkuha ng pinakamababang kita.

Dahil alam na ang pamamahala sa pera ay isang larong numero lamang na nangangailangan ng paggamit ng mga positibong inaasahan, maaaring huminto ang isang mangangalakal sa paghahanap para sa "holy grail" ng stock trading. Sa halip, maaari niyang simulan ang pagsubok sa kanyang paraan ng pangangalakal, alamin kung paano lohikal na tama ang pamamaraang ito, kung nagbibigay ito ng mga positibong inaasahan. Ang mga wastong paraan ng pamamahala ng pera na inilapat sa alinman, kahit na napakapangkaraniwan na mga pamamaraan ng pangangalakal, ay gagawa ng natitirang gawain.

Ang sinumang mangangalakal para sa tagumpay sa kanilang trabaho ay kailangang lutasin ang tatlong pinakamahalagang gawain: . Upang matiyak na ang bilang ng mga matagumpay na transaksyon ay lumampas sa hindi maiiwasang mga pagkakamali at maling kalkulasyon; I-set up ang iyong trading system upang ang pagkakataong kumita ng pera ay madalas hangga't maaari; Makamit ang isang matatag na positibong resulta ng iyong mga operasyon.

At dito, para sa amin, mga nagtatrabahong mangangalakal, ang mathematical expectation ay maaaring magbigay ng magandang tulong. Ang terminong ito sa teorya ng posibilidad ay isa sa mga susi. Gamit ito, maaari kang magbigay ng isang average na pagtatantya ng ilang random na halaga. Ang pag-asa sa matematika ng isang random na variable ay tulad ng sentro ng grabidad, kung akala natin ang lahat ng posibleng probabilidad bilang mga puntos na may iba't ibang masa.

Kaugnay ng isang diskarte sa pangangalakal, upang suriin ang pagiging epektibo nito, ang matematikal na pag-asa ng tubo (o pagkalugi) ay kadalasang ginagamit. Ang parameter na ito ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga ibinigay na antas ng kita at pagkawala at ang posibilidad ng paglitaw ng mga ito. Halimbawa, ipinapalagay ng binuong diskarte sa pangangalakal na 37% ng lahat ng mga operasyon ay magdadala ng tubo, at ang natitirang bahagi - 63% - ay hindi kumikita. Kasabay nito, ang average na kita mula sa isang matagumpay na transaksyon ay magiging $7, at ang average na pagkawala ay magiging $1.4. Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan ng pangangalakal gamit ang sumusunod na sistema:

Ano ang ibig sabihin ng numerong ito? Sinasabi nito na, sa pagsunod sa mga patakaran ng sistemang ito, sa karaniwan, makakatanggap kami ng 1.708 dolyar mula sa bawat saradong transaksyon. Dahil ang resultang marka ng kahusayan ay mas malaki kaysa sa zero, maaaring gamitin ang naturang sistema para sa totoong trabaho. Kung, bilang isang resulta ng pagkalkula, ang pag-asa sa matematika ay lumalabas na negatibo, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang average na pagkalugi at ang naturang kalakalan ay hahantong sa pagkasira.

Ang halaga ng tubo sa bawat kalakalan ay maaari ding ipahayag bilang isang kamag-anak na halaga sa anyo ng%. Halimbawa:

– porsyento ng kita sa bawat 1 transaksyon - 5%;

– porsyento ng matagumpay na operasyon ng kalakalan - 62%;

– porsyento ng pagkawala sa bawat 1 kalakalan - 3%;

- ang porsyento ng mga hindi matagumpay na transaksyon - 38%;

Ibig sabihin, ang karaniwang transaksyon ay magdadala ng 1.96%.

Posibleng bumuo ng isang sistema na, sa kabila ng nangingibabaw na mga pagkatalo, ay magbibigay ng positibong resulta, dahil ang MO>0 nito.

Gayunpaman, hindi sapat ang paghihintay nang mag-isa. Mahirap kumita ng pera kung ang sistema ay nagbibigay ng napakakaunting mga signal ng kalakalan. Sa kasong ito, ang kakayahang kumita nito ay maihahambing sa interes ng bangko. Hayaan ang bawat operasyon na magdala lamang ng 0.5 dolyar sa karaniwan, ngunit paano kung ang sistema ay nag-assume ng 1000 mga transaksyon bawat taon? Ito ay magiging isang napakaseryosong halaga sa medyo maikling panahon. Ito ay lohikal na sumusunod mula dito na ang isa pang tanda ng isang mahusay na sistema ng kalakalan ay maaaring ituring na isang maikling panahon ng paghawak.

Mga mapagkukunan at link

dic.academic.ru - akademikong online na diksyunaryo

mathematics.ru - pang-edukasyon na site sa matematika

nsu.ru – website na pang-edukasyon ng Novosibirsk State University

Ang webmath.ru ay isang portal na pang-edukasyon para sa mga mag-aaral, aplikante at mga mag-aaral.

exponenta.ru pang-edukasyon na mathematical site

ru.tradimo.com - libreng online na paaralan ng kalakalan

crypto.hut2.ru - multidisciplinary na mapagkukunan ng impormasyon

poker-wiki.ru - libreng encyclopedia ng poker

sernam.ru - Scientific library ng mga piling publikasyong natural science

reshim.su - website SOLVE gawain kontrol coursework

unfx.ru – Forex sa UNFX: edukasyon, mga signal ng kalakalan, pamamahala ng tiwala

slovopedia.com - Big Encyclopedic Dictionary

pokermansion.3dn.ru - Ang iyong gabay sa mundo ng poker

statanaliz.info - blog na nagbibigay-kaalaman "Pagsusuri ng istatistikal na data"

forex-trader.rf - portal ng Forex-Trader

megafx.ru - up-to-date na Forex analytics

fx-by.com - lahat para sa isang mangangalakal

Mga katangian ng DSW at ang kanilang mga katangian. Pag-asa sa matematika, pagkakaiba, karaniwang paglihis

Ang batas sa pamamahagi ay ganap na nagpapakilala sa random variable. Gayunpaman, kapag imposibleng mahanap ang batas sa pamamahagi, o hindi ito kinakailangan, maaaring limitahan ng isa ang sarili sa paghahanap ng mga halaga, na tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable. Tinutukoy ng mga dami na ito ang ilang average na halaga sa paligid kung saan pinagsama-sama ang mga halaga ng isang random na variable, at ang antas ng kanilang dispersion sa paligid ng average na halaga.

inaasahan sa matematika Ang isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga ng isang random variable at ang kanilang mga probabilities.

Ang pag-asa sa matematika ay umiiral kung ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo.

Mula sa punto ng view ng posibilidad, maaari nating sabihin na ang inaasahan sa matematika ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable.

Halimbawa. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay kilala. Hanapin ang mathematical na inaasahan.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Solusyon:

9.2 Mga Katangian ng Inaasahan

1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-pareho mismo.

2. Ang isang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-asa sign.

3. Ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations.

Ang property na ito ay may bisa para sa isang arbitrary na bilang ng mga random na variable.

4. Ang matematikal na inaasahan ng kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng matematikal na inaasahan ng mga termino.

Totoo rin ang property na ito para sa isang arbitrary na bilang ng mga random na variable.

Hayaang magsagawa ng n independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A kung saan ay katumbas ng p.

Teorama. Ang mathematical expectation M(X) ng bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng mga pagsubok ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan sa bawat pagsubok.

Halimbawa. Hanapin ang mathematical expectation ng random variable Z kung ang mathematical expectations ng X at Y ay kilala: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Solusyon:

9.3 Pagpapakalat ng isang discrete random variable

Gayunpaman, ang pag-asa sa matematika ay hindi maaaring ganap na makilala ang isang random na proseso. Bilang karagdagan sa pag-asa sa matematika, kinakailangan upang ipakilala ang isang halaga na nagpapakilala sa paglihis ng mga halaga ng random na variable mula sa inaasahan ng matematika.

Ang paglihis na ito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng random na variable at ang mathematical na inaasahan nito. Sa kasong ito, ang mathematical na inaasahan ng deviation ay zero. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang ilang posibleng mga paglihis ay positibo, ang iba ay negatibo, at bilang resulta ng kanilang magkaparehong pagkansela, ang zero ay nakuha.

Dispersion (pagkakalat) Ang discrete random variable ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito.

Sa pagsasagawa, ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng pagkakaiba ay hindi maginhawa, dahil humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon para sa isang malaking bilang ng mga halaga ng isang random na variable.

Samakatuwid, isa pang paraan ang ginagamit.

Teorama. Ang pagkakaiba ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mathematical expectation ng square ng random variable X at ng square ng mathematical expectation nito.

Patunay. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang matematikal na inaasahan M (X) at ang parisukat ng matematikal na inaasahan M 2 (X) ay pare-pareho ang mga halaga, maaari nating isulat:

Halimbawa. Hanapin ang pagkakaiba ng isang discrete random variable na ibinigay ng batas ng pamamahagi.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Solusyon: .

9.4 Mga katangian ng pagpapakalat

1. Ang dispersion ng isang pare-parehong halaga ay zero. .

2. Ang isang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito. .

3. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba-iba ng mga variable na ito. .

4. Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba ng mga variable na ito. .

Teorama. Ang pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng mga pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng p ng paglitaw ng kaganapan ay pare-pareho, ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw. ng kaganapan sa bawat pagsubok.

9.5 Standard deviation ng isang discrete random variable

Karaniwang lihis Ang random variable X ay tinatawag na square root ng variance.

Teorama. Ang karaniwang paglihis ng kabuuan ng isang may hangganang bilang ng magkaparehong independiyenteng mga random na variable ay katumbas ng square root ng kabuuan ng mga squared standard deviations ng mga variable na ito.

Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Ang inaasahan at pagkakaiba sa matematika ay ang pinakakaraniwang ginagamit na mga katangiang pang-numero ng isang random na variable. Nailalarawan nila ang pinakamahalagang katangian ng pamamahagi: ang posisyon nito at antas ng pagpapakalat. Ang pag-asa sa matematika ay madalas na tinutukoy bilang ang ibig sabihin. random variable. Ang pagpapakalat ng isang random na variable - isang katangian ng pagpapakalat, pagpapakalat ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan sa matematika nito.

Sa maraming mga problema sa pagsasanay, ang isang kumpletong, kumpletong paglalarawan ng isang random na variable - ang batas ng pamamahagi - alinman ay hindi maaaring makuha, o hindi kinakailangan sa lahat. Sa mga kasong ito, limitado ang mga ito sa tinatayang paglalarawan ng isang random na variable gamit ang mga numerical na katangian.

Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable

Dumating tayo sa konsepto ng pag-asa sa matematika. Hayaang maipamahagi ang masa ng ilang sangkap sa pagitan ng mga punto ng x-axis x1 , x 2 , ..., x n. Bukod dito, ang bawat materyal na punto ay may mass na katumbas nito na may posibilidad na p1 , p 2 , ..., p n. Kinakailangang pumili ng isang punto sa x-axis, na nagpapakilala sa posisyon ng buong sistema ng mga materyal na punto, na isinasaalang-alang ang kanilang mga masa. Natural na kunin ang sentro ng masa ng sistema ng mga materyal na punto bilang isang punto. Ito ang weighted average ng random variable X, kung saan ang abscissa ng bawat punto xi pumapasok na may "timbang" na katumbas ng katumbas na posibilidad. Ang ibig sabihin ng halaga ng random variable kaya nakuha X ay tinatawag na mathematical expectation nito.

Ang inaasahan sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang mga probabilidad ng mga halagang ito:

Halimbawa 1 Nag-organisa ng win-win lottery. Mayroong 1000 panalo, 400 nito ay 10 rubles bawat isa. 300 - 20 rubles bawat isa 200 - 100 rubles bawat isa. at 100 - 200 rubles bawat isa. Ano ang karaniwang panalo para sa isang taong bumili ng isang tiket?

Solusyon. Hahanapin natin ang average na panalo kung ang kabuuang halaga ng mga panalo, na katumbas ng 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubles, ay hinati sa 1000 (ang kabuuang halaga ng mga panalo). Pagkatapos ay nakakakuha kami ng 50000/1000 = 50 rubles. Ngunit ang expression para sa pagkalkula ng average na kita ay maaari ding katawanin sa sumusunod na anyo:

Sa kabilang banda, sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang halaga ng mga panalo ay isang random na variable na maaaring tumagal sa mga halaga ng 10, 20, 100 at 200 rubles. na may mga probabilidad na katumbas ng 0.4, ayon sa pagkakabanggit; 0.3; 0.2; 0.1. Samakatuwid, ang inaasahang average na kabayaran ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng laki ng mga kabayaran at ang posibilidad na matanggap ang mga ito.

Halimbawa 2 Nagpasya ang publisher na mag-publish ng bagong libro. Ibebenta niya ang libro sa halagang 280 rubles, kung saan 200 ang ibibigay sa kanya, 50 sa bookstore, at 30 sa may-akda. Ang talahanayan ay nagbibigay ng impormasyon tungkol sa halaga ng pag-publish ng isang libro at ang posibilidad ng pagbebenta ng isang tiyak na bilang ng mga kopya ng libro.

Hanapin ang inaasahang kita ng publisher.

Solusyon. Ang random variable na "kita" ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kita mula sa pagbebenta at ang halaga ng mga gastos. Halimbawa, kung ang 500 na kopya ng isang libro ay naibenta, kung gayon ang kita mula sa pagbebenta ay 200 * 500 = 100,000, at ang halaga ng pag-publish ay 225,000 rubles. Kaya, ang publisher ay nahaharap sa pagkawala ng 125,000 rubles. Ang sumusunod na talahanayan ay nagbubuod sa mga inaasahang halaga ng random variable - tubo:

Numero	Kita xi	Probability pi	xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Kabuuan:		1,00	25000

Kaya, nakukuha namin ang mathematical na inaasahan ng kita ng publisher:

Halimbawa 3 Pagkakataong tamaan ng isang putok p= 0.2. Tukuyin ang pagkonsumo ng mga shell na nagbibigay ng mathematical na inaasahan ng bilang ng mga hit na katumbas ng 5.

Solusyon. Mula sa parehong formula ng inaasahan na ginamit namin sa ngayon, ipinapahayag namin x- pagkonsumo ng mga shell:

Halimbawa 4 Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable x bilang ng mga hit na may tatlong shot, kung ang posibilidad ng pagtama sa bawat shot p = 0,4 .

Pahiwatig: hanapin ang posibilidad ng mga halaga ng isang random na variable sa pamamagitan ng Bernoulli formula .

Mga Katangian ng Inaasahan

Isaalang-alang ang mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Ari-arian 1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-parehong ito:

Ari-arian 2. Ang patuloy na kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-asa na palatandaan:

Ari-arian 3. Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

Ari-arian 4. Ang pag-asa sa matematika ng produkto ng mga random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

Ari-arian 5. Kung ang lahat ng mga halaga ng random variable X pagbaba (pagtaas) ng parehong bilang SA, kung gayon ang mathematical na inaasahan nito ay bababa (tataas) ng parehong numero:

Kapag hindi ka maaaring limitado lamang sa pag-asa sa matematika

Sa karamihan ng mga kaso, tanging ang matematikal na pag-asa ang hindi sapat na mailalarawan ang isang random na variable.

Hayaan ang mga random na variable X At Y ay ibinigay ng mga sumusunod na batas sa pamamahagi:

Ibig sabihin X	Probability
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Ibig sabihin Y	Probability
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Ang mga inaasahan sa matematika ng mga dami na ito ay pareho - katumbas ng zero:

Gayunpaman, ang kanilang pamamahagi ay naiiba. Random na halaga X maaari lamang kumuha ng mga halaga na medyo naiiba sa inaasahan sa matematika, at sa random na variable Y maaaring kumuha ng mga halaga na makabuluhang lumihis mula sa inaasahan sa matematika. Ang isang katulad na halimbawa: ang karaniwang sahod ay hindi ginagawang posible upang hatulan ang proporsyon ng mataas at mababang suweldo na mga manggagawa. Sa madaling salita, sa pamamagitan ng pag-asa sa matematika ay hindi maaaring hatulan ng isang tao kung anong mga paglihis mula dito, kahit sa karaniwan, ay posible. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable.

Pagpapakalat ng isang discrete random variable

pagpapakalat discrete random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng square ng deviation nito mula sa mathematical expectation:

Ang standard deviation ng isang random variable X ay ang arithmetic value ng square root ng variance nito:

Halimbawa 5 Kalkulahin ang mga pagkakaiba at karaniwang paglihis ng mga random na variable X At Y, na ang mga batas sa pamamahagi ay ibinigay sa mga talahanayan sa itaas.

Solusyon. Mga inaasahan sa matematika ng mga random na variable X At Y, tulad ng matatagpuan sa itaas, ay katumbas ng zero. Ayon sa dispersion formula para sa E(X)=E(y)=0 nakukuha natin:

Pagkatapos ay ang standard deviations ng random variables X At Y bumubuo

Kaya, na may parehong mga inaasahan sa matematika, ang pagkakaiba ng random variable X napakaliit at random Y- makabuluhan. Ito ay bunga ng pagkakaiba sa kanilang pamamahagi.

Halimbawa 6 Ang mamumuhunan ay may 4 na alternatibong proyekto sa pamumuhunan. Ang talahanayan ay nagbubuod ng data sa inaasahang kita sa mga proyektong ito na may katumbas na posibilidad.

Proyekto 1	Proyekto 2	Proyekto 3	Proyekto 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Hanapin para sa bawat alternatibo ang mathematical expectation, variance at standard deviation.

Solusyon. Ipakita natin kung paano kinakalkula ang mga dami na ito para sa ika-3 alternatibo:

Ang talahanayan ay nagbubuod ng mga nahanap na halaga para sa lahat ng mga alternatibo.

Ang lahat ng mga alternatibo ay may parehong mathematical na inaasahan. Nangangahulugan ito na sa katagalan lahat ay may parehong kita. Ang karaniwang paglihis ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang sukatan ng panganib - kung mas malaki ito, mas malaki ang panganib ng pamumuhunan. Ang isang mamumuhunan na ayaw ng malaking panganib ay pipiliin ang proyekto 1 dahil ito ang may pinakamaliit na standard deviation (0). Kung mas gusto ng mamumuhunan ang panganib at mataas na kita sa maikling panahon, pipiliin niya ang proyekto na may pinakamalaking karaniwang paglihis - proyekto 4.

Mga Katangian ng Dispersion

Ipakita natin ang mga katangian ng pagpapakalat.

Ari-arian 1. Ang dispersion ng isang pare-parehong halaga ay zero:

Ari-arian 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito:

Ari-arian 3. Ang pagkakaiba ng isang random na variable ay katumbas ng mathematical expectation ng square ng value na ito, kung saan ang square ng mathematical expectation ng value mismo ay ibinabawas:

saan .

Ari-arian 4. Ang pagkakaiba ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng kanilang mga pagkakaiba:

Halimbawa 7 Ito ay kilala na ang isang discrete random variable X tumatagal lamang ng dalawang halaga: −3 at 7. Bilang karagdagan, ang inaasahan sa matematika ay kilala: E(X) = 4 . Hanapin ang pagkakaiba ng isang discrete random variable.

Solusyon. Tukuyin sa pamamagitan ng p ang posibilidad na ang isang random na variable ay kumuha ng isang halaga x1 = −3 . Pagkatapos ang posibilidad ng halaga x2 = 7 ay magiging 1 − p. Kunin natin ang equation para sa mathematical expectation:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kung saan nakukuha natin ang mga probabilidad: p= 0.3 at 1 − p = 0,7 .

Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Kinakalkula namin ang pagkakaiba ng random variable na ito gamit ang formula mula sa property 3 ng variance:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 8 Discrete random variable X tumatagal lamang ng dalawang halaga. Ito ay tumatagal ng mas malaking halaga ng 3 na may posibilidad na 0.4. Sa karagdagan, ang pagkakaiba ng random variable ay kilala D(X) = 6 . Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable.

Halimbawa 9 Ang isang urn ay naglalaman ng 6 na puti at 4 na itim na bola. 3 bola ang kinuha mula sa urn. Ang bilang ng mga puting bola sa mga iginuhit na bola ay isang discrete random variable X. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable na ito.

Solusyon. Random na halaga X maaaring kunin ang mga halaga 0, 1, 2, 3. Ang kaukulang mga probabilidad ay maaaring kalkulahin mula sa tuntunin ng pagpaparami ng mga probabilidad. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Kaya ang inaasahan sa matematika ng random na variable na ito:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Ang pagkakaiba-iba ng isang ibinigay na random na variable ay:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Pag-asa sa matematika at pagpapakalat ng isang tuluy-tuloy na random na variable

Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang mekanikal na interpretasyon ng mathematical na inaasahan ay mananatili sa parehong kahulugan: ang sentro ng masa para sa isang unit mass na patuloy na ipinamamahagi sa x-axis na may density f(x). Sa kaibahan sa isang discrete random variable, kung saan ang function argument xi biglang nagbabago, para sa tuluy-tuloy na random na variable, patuloy na nagbabago ang argumento. Ngunit ang pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay nauugnay din sa ibig sabihin ng halaga nito.

Upang mahanap ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang tuluy-tuloy na random variable, kailangan mong makahanap ng mga tiyak na integral . Kung ang isang density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ibinigay, pagkatapos ito ay pumasok nang direkta sa integrand. Kung ang isang probability distribution function ay ibinigay, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba nito, kailangan mong hanapin ang density function.

Ang arithmetic average ng lahat ng posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na nito inaasahan sa matematika, tinutukoy ng o .