slonam.ru Управление образования городского округа Ревда
Другие
Правовые
Компьютерные
Экономические
Астрономические
Географические
Про туризм
Биологические
Исторические
Медицинские
Математические
Физические
Философские
Химические
Литературные
Бухгалтерские
Спортивные
Психологичексие
добавить свой файл

страница 1
Управление образования городского округа Ревда

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

Проектная работа

«Задачи по планиметрии с применением тригонометрии»

Составители:

Могильникова И.,

Порозов К.,

Некрасов А.,

Малютин А.,

Кушпелев Н.,б

под руководством учителя математики

I квалификационной категории,

Вершинина В.П.

Ревда

2009г.


Наверное, нет такого ученика в школе, который в определенном возрасте не мечтал стать учителем. А если и в 11–м классе ты не расстался со своей мечтой, и связываешь её с математикой, что невольно оцениваешь всю деятельность школы с точки зрения своей будущей профессии. Ты невольно начинаешь задумываться, как бы ты поступил, если бы стал учителем, директором или даже министром образования . Тебя интересует учебный процесс и в целом, и в отдельных частных вопросах. Ты вдруг в выпускном классе начинаешь размышлять, почему именно математика выбрана в виде обязательного ЕГЭ, а не история России или география, например, почему именно так составлена программа школьного курса математики, что ты с первого по одиннадцатый класс практически изучаешь только действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, потенцирование, дифференцирование и интегрирование, а, может, за основу составления школьной программы взять другой принцип.

Тебе интересно всё: и как пишутся учебники , а они у разных авторов различные; почему при закреплении изученной теории задачи решаются от простых к сложным, а, может лучше взять трудную задачу базовую и рассмотреть её поподробнее со всех сторон и не тратить лишнее время на решение простейших задач; или как составить итоговую контрольную работу, например, по теме «Логарифмические уравнения», каков принцип составления контрольных работ и т.п. Всегда интересно себя испытать в чем-то новом, попробовать создать что-то такое «учительское».

За время обучения в школе на уроках математики мы научились многому: приемам контроля и самоконтроля, рецензировать ответ одноклассника и ставить оценку, пробовали составлять контрольную работу по пройденной теме, готовили и принимали зачеты по алгебре и геометрии у одноклассников и в младших 9-х и 7-х классах, в кабинете математики составили и оформили стенд в помощь учащимся: «как решать задачу по алгебре», «как решать задачу по геометрии», «как работать с учебником», «требование к ответу», «организация работы на уроке».

В день самоуправления, который по решению совета школы ежегодно проводят выпускники школы, мы полностью управляли школой, у нас был свой директор, завучи, мы составляли расписание уроков, питания учащихся в этот день в столовой, проводили уроки во всех классах, в том числе и уроки математики, а в конце дня по итогам провели конференцию с учителями и КВН ( учителя – ученики ), мы даже победили. Готовились мы к этому мероприятию, конечно, не одну неделю, под руководством учителей научились составлять план урока, познакомились с его основными этапами. Учитель математики Вершинина Валентина Павловна провела мастер – класс урока математики для нас, где мы впервые посмотрели на себя с иной стороны и постарались запомнить все «изюминки» проведения урока опытным учителем с многолетним педагогическим стажем. Итак, мы ( нас пятеро: Могильникова Ирина, Порозов Кирилл, Кушпелев Николай, Некрасов Алексей, Малютин Андрей ) решили себя испытать и научится составлять программу элективного курса для учащихся 11-х классов по геометрии. Работали мы под руководством учителя геометрии Вершининой Валентины Павловны.

Стало ясно, что:


  1. Тему выбирать надо такую, чтобы её теоретическая часть была бы нами неплохо изучена для составлений программы.

  2. Математическое содержание темы должно быть не очень трудным, ибо наша цель состоит не столько в расширении математических знаний, сколько в постижении принципов составления программы элективного курса.

  3. Чтобы этот курс дополнил и расширил школьную программу.

  4. Эту программу мы должны испытать, прежде всего на себе.

Мы внимательно изучили требования к составлению программ элективного курса и дополнительную литературу. Проанализировав содержание изучения школьного курса планиметрии, мы заметили, что заканчивая изучение планиметрии в 9-м классе, школьники владеют только начальными понятиями тригонометрии. Учащиеся оказываются неготовыми к решению достаточно сложных планиметрических задач, в которых активно используются формулы тригонометрии, поэтому после 10 класса, где в полном объеме изучается тригонометрия, был бы уместен элективный курс «Задачи по планиметрии с применением тригонометрии». В этом случае школьный курс планиметрии на наш взгляд носил бы более законченный характер. Вот почему мы решили взять для разработки именно эту тему для элективного курса в начале 11 класса.

При составлении программы было много трудностей и не все хорошо получилось, но работать было интересно.

Управление образования городского округа Ревда

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»



СОГЛАСОВАНО

на заседании ШМО

ОО «Математика и информатика»

Протокол №____________________

от «___» _________________ 2008г.
Руководитель ШМО Озол О.Р.


УТВЕРЖДАЮ

Директор________________ (Сазанов А.М.)

Протокол №____________________

от «___» _________________ 2008г.




«Задачи по планиметрии с

применением тригонометрии»

Программа элективного курса




Рекомендовано к реализации научно-методическим советом МОУ «СОШ №29»

Составители:

Могильникова Ирина,

Порозов Кирилл,

Кушпелев Николай,

Малютин Андрей,

Некрасов Алексей


под руководством учителя математики I квалификационной категории

Вершининой В.П.












Ревда


2008г.

Пояснительная записка
Изучение курса планиметрии заканчивается в IX классе. В это время школьники владеют только начальными понятиями тригонометрии и оказываются не готовыми к решению достаточно сложных планиметрических задач, в которых активно используются формулы тригонометрии. К тому же за время учебы в X и XI классах они в значительной мере теряют навык решения задач по планиметрии. Между тем такие задачи включены в ЕГЭ по математике и навыки решения таких задач учитываются при поступлении в высшие учебные заведения. Элективный курс «Задачи по планиметрии с применением тригонометрии » даёт возможность познакомить учащихся с такими задачами, углубить знания по геометрии, тригонометрии и алгебре, выработать навыки их решения и успешно сдать ЕГЭ по математике.

Элективный курс «Задачи по планиметрии с применением тригонометрии » рассчитан на 16 часов (I полугодие).


Содержание, включаемое в задачи

  1. Признаки равенства и подобия треугольников, решение треугольников, площадь треугольников;

  2. Параллелограмм и его виды, трапеция;

  3. Окружность, вписанная и описанная в треугольник и четырехугольник;

  4. Площадь фигур планиметрии.


Проблема: недостаточная сформированность решения задач всех видов планиметрии, особенно с применением тригонометрии.
Цель курса:

    1. Ознакомить учащихся с задачами планиметрии, решаемых с помощью тригонометрии;

    2. Выработать навыки решения таких задач.

Для реализации целей необходимо:

а) углубить теоретические знания планиметрии;

б) навыки решения задач планиметрии;

в) сформировать навыки применения тригонометрии и алгебраических преобразований при решении задач планиметрии;



г) подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ к поступлению в ВУЗ.
Программа курса направлена на развитие у школьников коммуникативной информационной культуры учащихся.
Формы контроля:

  1. Задачи по итогу нескольких уроков решения задач.

  2. Защита «своей» задачи, опираясь на принятые требования к содержанию подобных задач.

  3. Составление сборника задач по планиметрии с применением тригонометрии и его презентации.


Учебно-тематический план




Тема занятия

Кол-во

часов

Форма проведения

Образовательный продукт

1

Вводное занятие (повторение основных теорем планиметрии)

2

Игра (выявление почетного умника планиметрии)

Проект программы обучения

2

Решение задач

8+1

Групповой практикум

Конспект, составление общих требований к содержанию задач

3

Зачет по решённым задачам

1

Самостоятельная работа

Оценка деятельности ученика

4

Защита «своей» задачи

2

Семинар-дискуссия

Поиск и находка оригинальных задач

5

Составление сборника задач

1

Практическая работа

Сборник лучших работ

6

Презентация сборника задач

1

Мультимедийная презентация

Сборник лучших работ


Содержание тем учебного курса:


  1. Вводное занятие (повторение основных теорем планиметрии и составление проекта программы обучения). Провести в форме игры на вычисление лучшего.

  2. Решение задач типа:

    1. ABCD – равнобедренная трапеция с большим основанием AD, в которой . Окружность радиуса 28 касается сторон AD, AB и CD. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

    2. В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла ABC опущены перпендикуляры AD и DC.Эти перпендикуляры пересекают диагональ AC в точках M и N соответственно. Известно, что AM : NC=4 : 25,  . Найдите отношение AB : AD

и т.д.
Основные требования к задачам:


  1. Условие задачи должно быть достаточно кратким, а чертёж – достаточно простым.

  2. В решении задач должна содержаться «геометрическая» часть, т.е. Построение и обоснования, основанные на определениях и теоремах из курса планиметрии;

  3. В решении задач должна быть «алгебраическая» часть, т.е. Выполнение тригонометрических преобразований, решение уравнений;

  4. Числовые данные должны быть подобраны так, чтобы задача имела единственный точный ответ, как в ЕГЭ.


Учебно-методическое обеспечение курса


  1. Учебники

Атанасян А.С. Геометрия 7-9. Издательство «Просвещение» 2004 г.


  1. Учебные пособия для учащихся

  1. ЕГЭ – 2008 ФИПИ Издательство Астрель Москва

  2. ГГЭ – 2008 Тематические тренировочные задания Издательство Эксмо Москва

  3. Варианты экзаменационных задач по математике для поступающих в ВУЗы. Издательство Дрофа 2002 г.

  4. Каганов Э.Д. «Решение типовых школьных заданий с ответами» Издательство ЮНВЕС Москва 2001 г.

  5. Тесты П.И. Алтанов Геометрия 7-9 Издательство Дрофа Москва




  1. Пособия для учителя

  1. Контрольные и проверочные работы по геометрии 7-11 классы Издательство Дрофа Москва 2001 г.

  2. Сборник задач по элементарной математике Издательство ФМ Москва

1960 г.

  1. ЕГЭ 2006, ЕГЭ – 2007 Издательство Эксмо Москва. Тематические задания

  2. Математика в школе – газета для учителя. №7 2007г

.

  1. Литература, использованная для составления программы




      1. Государственный образовательный стандарт начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования, образовательная область «Математика»

      2. М.В.Величко «Математика 9-11 классы Проектная деятельность учащихся» Издательство Учитель 2008г.

      3. И.В. Парнасский «Решебник задач повышенной трудности по геометрии 7-11 класс» Издательство Москва 1998 г.

Приложение
Сборник задач по планиметрии с применением тригонометрии

  1. На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA=MN/2, QB=MN/3. Докажите что ∠АМВ=45о.







Если MN=а, то

SAMB = SMNPQ – SMNA – SAPB – SMQB

=a2 – a2/4 – a2/6 – a2/6

= 5a2/12.

Так как АМ =  и

ВМ = ,

то 5а2/12 = (a)*(a)sinх/2;

sinx = 1/ , x = 45o.







  1. В четырёхугольнике АВСD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и ОАD. Докажите, что ABCD - трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.







Пусть ∠АОВ = α.

Так как по условию SOBC * SOAD= S2ODC, то,

5 * OB * OCsin (180o - α) * 0,5 *

OA * ODsin(180o - α)

= 0,25 * OC2 * OD2 sin2 α ,

следовательно, ОВ * ОА = ОС * ОD,

OA/OC = OD/OB.

Тогда △ OAD  OCB, откуда ∠АDB = ∠CBD и, значит, AD||BC.






  1. Докажите, что в треугольнике АВС биссектриса АА1 вычисляется по формуле АА1 = 2bc * cos(A/2)/(b + c), где b = AC, c = AB



Так как S = SABA + SACA ,

то 0,5bc * sinA = 0,5c * AA1 * sin(A/2) + 0,5b * AA1 * sin(A/2)

или 2bc * sin(A/2) * cos(A/2)

= (c + b) * AA1 * sin(A/2)

откуда АА1 = 2bc * cos(A/2)/(b + c).







  1. Докажите что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле S = ,

где p – полупериметр, a, b, c, d – стороны четырёхугольника.


S = SABC + SADC = 0,5ab*sinB + 0,5cd*sinD = 0,5(ab + dc)*sinB,

4S2 = (ab + cd)2*sin2B = (ad + cd)2 – (ab + cd)2cos2B (1)

Из △АВС и △АDC :

AC2 = a2 + b2 – 2ab*cosB,

AC2 = c2 + d2 – 2cd*cosD = c2 + d2 +2cd*cosB;

приравняв эти два выражения, имеем: a2 + b2 – c2 – d2 = 2(ab + cd)*cosB.

Найдём отсюда cosB и подставим в (1)

4S2 = (ab + dc)2 – (a2 + b2 – c2 – d2)2/4,

16S2 = 4(ab + dc)2 – ( a2 + b2 – c2 – d2) =

(2 ab + 2dc + a2 + b2 – c2 –d2)*(2ab +2dc – a2 –b2 +c2 +d2) =

[(a + b)2 – (c – d)2]*[(c + d)2 – (a – b)2] =

(a + b + c – d)*(a + b – c + d)*(a – b + c + d)*(b – a + c+ d) =

(2p – 2a)(2p – 2b)(2p – 2c)(2p – 2d);

S = 






  1. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярна к основаниям, равна 6. Точка Е – середина отрезка CD, угол СВЕ равен α. Найдите площадь трапеции ABCD.







Если EF – средняя линия, то EF|| BC||AD. AE = 2 AD*cosα = 6cosα,

EF = AE*cosα = 6cos2α ,

SABCD = FE*AB = 2FE*AF = 72cos3α*sinα.





  1. ABCD – равнобедренная трапеция с большим основанием AD, в которой cos∠BAD = 0,44. Окружность радиуса 28 касается стороныAD, стороны AB в точке В и стороны CD в точке С. Найдите радиус, описанной около трапеции






Пусть ∠BAD = α , cos α = 0,44, O - центр окружности радиуса r = 28.

Так как окружность касается AD и АВ, то АО – биссектриса ∠ВАD, т.е. OAD = α/2. Через точку О проведём высоту трапеции MN. Поскольку ОВ = ОС = ОМ = r, то BN = NC и потому АМ = MD; Пусть каждый из этих отрезков равен a Тогда


Из точки А к окружности проведены касательные АВ и АМ, так чтобы АВ = а и из треугольника ABD по теореме косинусов BD = a . Окружность, описанная около ABCD, описана и около ABD, поэтому её радиус есть

R=


Неизвестную длину a исключаем, составив отношение радиусов
R=

При r = 28, cosα = 0,44 получаем R =45

Ответ: 45






  1. В ромбе ABCD с острым углом BAD через вершины A, B, C проведена окружность, которая пересекает продолжение стороны AD в точке М и продолжение стороны CD в точке N. Площади треугольника MBN и ромба АВСD относятся как 28:25. Найдите соs∠BAD.




  1. В параллелограмме ABCD из вершины В тупого угла АВС опущены перпендикуляры на стороны AD и DC. Эти перпендикуляры пересекают диагональ АС в точках М и N соответственно.



  1. ABCD – равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС, в которую можно вписать окружность. Окружность, построенная на стороне АВ как на диаметре, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину АМ, если МС = 20,

cos∠BAD = 0,2.





Пусть N – точка пересечения окружности с основанием AD. Каждый из углов AMB, ANB – прямой (т.к. опирается на диаметр), поэтому BN – высота трапеции. Пусть АВ = CD = l, ∠BAD=α. Тогда AN = lcosα и из условия AD + BC = 2l вытекает,

что ВС = l( 1 – cosα). Теперь найдём АС из треугольника АВС по теореме косинусов:

AC2=l2(2-cos2α)

Нас интересует сейчас cos∠BAC, его можно найти как с помощью теоремы синусов, так и теореы косинусов из треугольника АВС:

cos∠BAC=

В любом случае из прямоугольного треугольника АВМ получим


AM=l cos∠BAC=l
и

MC = AC - AM = l 

Поэтому


и при МС = 20, cosα = 0,2

получим АМ = 29.


Ответ: 29





  1. ABCD - прямоугольник площади 50 с большей стороной AD. Окружность касается сторон АВ, ВС, AD и пересекает диагональ АС в точках М и N, причём MN = 7. Найдите sin∠CAD.




  1. В ромбе ABCD с острым углом BAD через вершины A, B, и D проведена окружность. Она пересекает сторону ВС в точке М, так что ВМ:МС = 3:2. Найдите cos∠BAD.




  1. В четырёхугольнике два противоположных угла – прямые. Найдите его площадь, если радиус вписанной в него окружности равен 7, а радиус описанной около него равен 12.

  2. Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) описана окружность. Вторая окружность проходит через вершину А и касается стороны ВС в её середине. Радиусы этих окружностей относятся как 4:3. Найдите наименьшее возможное значение, которое может принимать cos∠BAC.




  1. Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность радиуса 40. Окружность радиуса 15 с центром на большем катете касается гипотенузы и описанной окружности. Найдите наибольшее возможное значение, которое может принимать площадь треугольника АВС.




  1. Около круга описана прямоугольная трапеция с острым угломα. Периметр трапеции P. Найдите высоту трапеции.




  1. В остроугольном треугольникеABC: BC=8 см, AC= 5 см, площадь 12 см2. Найдите синус угла А.




  1. В треугольникеABC: BC=3 см, AC= 2 см, угол B вдвое меньше угла А. Найдите высоту, проведенную к АВ.




  1. Диагональ BD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислить длину диагонали AC, если BD=2, AB=1, ∠ABD:∠DBC=4:3.




  1. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC длина боковой стороны AB=2 см. Биссектриса ∠BAD пересекает прямую BC в точке E. В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M и стороны BE в точке H. Длина отрезка MH=1 см. Найдите величину ∠BAD.




  1. В остроугольном треугольникеABC сторона АB больше стороны ВC,отрезки АМ и СМ - высоты треугольника, тоска О - центр описанной окружности. Угол АВС=β, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите сторонуАС.

страница 1
скачать файл

Смотрите также:



© slonam.ru, 2018