slonam.ru Лекция №7 Отступление о собственных векторах и собственных значениях
Другие
Правовые
Компьютерные
Экономические
Астрономические
Географические
Про туризм
Биологические
Исторические
Медицинские
Математические
Физические
Философские
Химические
Литературные
Бухгалтерские
Спортивные
Психологичексие
добавить свой файл

страница 1
Лекция №7

Отступление о собственных векторах и собственных значениях матрицы.

Умножение матриц:


















- условие существования матрицы

,

То есть, чтобы получить элемент, стоящий в i-строке и j-столбце, нужно элементы i-строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Свойства произведения матрицы:










(- матрицы; - число)

Произведение матриц не обладает переместительным свойством, то есть

Пример: 1 2 5 6

3 4 7 8




19 22 23 34

43 50 31 46

Может случиться, что произведения двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, смысле иметь не будет.




Пример: 1 2 3 3 2 1

4 5 6 2 1 3



4 3 0

19 13 7

46 31 19


- не существует

Пусть дана квадратная матрица . Рассмотрим линейное преобразование (7.1)



- n-мерные векторы некоторого, вообще говоря, комплексного n-мерного пространства.

Определение: Ненулевой вектор называется собственным вектором данной матрицы, если в результате соответствующего линейного преобразования этот вектор переходит в коллинеарный ему, то есть если преобразованный вектор отличается от исходного только скалярным множителем.

Иначе говоря, вектор называется собственным вектором матрицы , если эта матрица переводит вектор в вектор



(7.2)

Число называется собственным значением (или характеристическим числом) матрицы , соответствующим данном собственному вектору .



Пример: Рассмотрим преобразование проектирования в двумерном пространстве , определяемое матрицей:




1 0

  1. 0










Здесь собственными векторами являются:



  1. Ненулевые векторы , направленные по оси с собственным значением

  2. ненулевые векторы , направленные по оси , с собственным значением .

Уравнение (1) можно записать - характеристическое уравнение, где - характеристическая матрица - характеристический множитель.

Пример:


2 1 1


1 2 1

1 1 2
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.



Решение: составим характеристическое уравнение:




Отсюда: , ,

Возьмем: , подставим в уравнение .

Имеем: 1 1 1 x1

1 1 1 x2

1 1 1 x3


Или




Достаточно решить одно из этих уравнений: положив ;, получим , где и - любые числа не равные пустому множеству одновременно.

В частности, выбирая сперва , , а затем , будем иметь простейшую фундаментальную. Систему решений, состоящую из двух линейно независимых векторов матрицы :

1 0


0 и 1

-1 -1
Все остальные собственные векторы матрицы соответствующие характеристическому числу , являются линейной комбинацией этих базисных векторов и заполняют плоскость, натянутую на векторы и (исключая начало координат).

Возьмем теперь . Подставляя это значение в уравнение, получим:


-2 1 1 x1

1 -2 1 x2

1 1 -2 x3


Или




Отсюда: - постоянная, отличная от пустого множества. Положим , получим простейшее решение, реализующее собственный вектор матрицы




1

1

1
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов возникает во многих задачах механики, физики и химии. С точки зрения линейной алгебры задача о собственных значениях и векторах включает в себя составление характеристического мн-на, отыскание корней этого мн-на (собственных значений), однородной системы, то есть определение собственных векторов матрицы .

В рассмотренных метода на каждой итерации исходная функция аппроксимируется линейной функцией. Для итерации формул можно использовать информацию о функции в нескольких точках, предшествующих точке . Например, в методе парабол по трем последовательным приближениям строится мн-н второй степени (парабола), приближающий исходную функцию. Этот метод называется n-дополнительных парабол, меьод Мюллера, или методом квадратичной интерполяции.



Метод простой итерации

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде:



(6.12)

Пусть известно начальное прибл-е корня . Подставляя это значение в правую часть, получаем новое прибл-е . Получая каждый раз новое значение корня в (6.12) получаем последовательность значений: .

Итерация пр-с прекращение, если результаты двух последовательных итераций близки, то есть выполнено неравенство (6.10). Для невязки, полученной на k-й итерации выполнено соотношение: .

То есть, условие малости невязки на k-й итерации здесь эквивалентно условию близости k-го и (k+1)-го приближений.


Достаточное условие сходимости метода простой итерации с формулой в теореме:
Пусть - корень уравнения (6.12), то есть , и непрерывна. Тогда существует окрестность корня с такая, что если нач. приближение принадлежит этой окружности, то для метода простой итерации последовательность значений сходится к при .

Метод простой итерации рассмотрен для уравнения (6.12) к такому виду можно всести и более общее уравнение (6.1)



(6.13)

здесь - некоторое число. Уравнение (6.13) эквивалентно (6.12) с функцией . За счет выбора значения параметра можно добиваться сходимости метода простой итерации и ск-ти сходимости. Параметр можно выбтирать и переменным зависящим от № итерации. Например, если положить , то метод простой итерации для уравнения (6.113) примет вид

Это соотношение совпадает с формулой метода Ньютона (6.11). Следовательно, метод Ньютона есть частный случай метода простой итерации с переменным .

Домашнее задание: Написать алгоритм метода простой итерации.
Системы нелинейных уравнений
Многие практические задачи сводятся и решению системы нелинейных уравнений.

Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений:





(7.3)

В векторной форме эту систему можно записать

Где ,

В отличие от систем линейных уравнений, не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений общего вида. Лишь в отдельных случаях систему 7.3) можно решить непосредственно. Например: для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используют метод Зейделя, метод Ньютона.

Метод простой итерации и метод Зейделя
Систему (7.3) представим в виде:



(7.4)

… … … …



Для решения этой системы можно использовать метод простой итерации, аналогичный соответствующему методу для одного уравнения. Значения неизвестных на -ой итерации будут найдены с использованием их значений на предыдущей итерации

, (7.5)

Систему (7.4) можно решить и методом Зейделя напоминающим метод Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Значения находится из го уравнения системы с учетом уже вычисленных на текущей итерации значений неизвестных. Таким образом, значения неизвестных на -й итерации будут находиться с помощью соотношения:



,

Итерационных процесс в обоих методах продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, то есть в качестве критерия завершения итераций выбирают одно из условий:



(7.6)

(7.7)

,

При использовании этих двух методов успех во многом определяется удачным выбором начальных приближений неизвестных: они д.б. достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерация пр-с может не сойтись.


Метод Ньютона

Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации и метод Зейделя. В случае одного уравнения алгоритм метода Ньютона был легко получен путем записи уравнения касательной к кривой . По сути для нахождения нового приближения функция заменялась линейной функцией (то есть раскладывалась в ряд Тейлора, при это член, содержащий вторую производную, отбрасывался, как и все последующие члены). Так же идея лежит в основе метода Ньютона для системы уравнений: функции .

Действительная функция называется аналитической в точке , если в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):

При получаем ряд Маклорена



Разность называется остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции полиномом Тейлора:



Раскладываются в ряд Тейлора, причем члены, содержащие второй и более высоких порядков производные, отбрасываются. Предполагая, что функция непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей и разложим левые части системы уравнений (7.3), ограничиваясь линейными членами относительно приращений: . Таким что:





(7.9)



- приближенные значения неизвестных системы, полученных на предыдущей итерации. Задача состоит в нахождении приращений (поправок).

Разложение левых частей уравнений системы (7.3):





(7.10)

… … … … … …



В правых частях значения и их производных вычисляются в точке . Поскольку в соответствии с (7.3) левые части (7.10) должны обращаться в пустое множество, приравняем к нулю и правые части, то есть найдем новое приближение из условия равенства пустого множества разложений функции .

Получим след. СЛАУ относительно приращений:



(7.11)

… …


Под производной следует понимать матрицу Якоби системы функция относительно переменных





(7.12)


Определитель матрицы Якоби иногда называется Якобианом: . Для существования единственного решения системы (7.11) якобиан на любой итерации. Таким образом итерационный процесс решения системы уравнений (7.3) методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации посредством решения системы (7.11). Счет прекращается при выполнении одного из условий (7.6) – (7.8) или условия малости невязки, где . Например, условие (7.7) сведется к виду . В методе Ньютона также важен удачный выбор начала приближения для обеспечения сходимости. Сходимость ухудшается с п.

Рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений:





Пусть приближенные значения неизвестных равны .

Предположим, что якобиан системы при отличен от пустого множества, то есть:







Тогда следующие приближения неизвестных можно записать в виде:



Правые части вычисляются при .

Составим алгоритм метода Ньютона для решения системы двух уравнений. В качестве исходных данных задаются начальные приближения неизвестных , погрешность , допустимое число итераций . Если итерации сойдутся, то выводятся значения ; в противном случае текущие значения и соответствующее сообщение.

Ввод











Здесь и – логическая операция, существующая во многих современных языках программирования


+ _

и
+ _










+ -




Вывод Вывод итерации



Расходятся




У Демидовича страница 452-455 рассмотрены примеры, как приближенно находятся положительные решения системы уравнений методом Ньютона.
страница 1
скачать файл

Смотрите также:



© slonam.ru, 2017